[phpBB Debug] PHP Warning: in file [ROOT]/ext/kinerity/bestanswer/event/main_listener.php on line 514: Undefined array key "poster_answers" Abscheuliche Zahl - Deutsches Wikipedia-Forum
In der Zahlentheorie ist eine '''abscheuliche Zahl''' (englisch ''odious number'') eine nichtnegative ganze Zahl, die im Dualsystem eine ungerade Zahl von Einsen hat.Neil Sloane: [https://oeis.org/A000069 Sequenz A000069: Odious numbers: numbers with an odd number of 1's in their binary expansion], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Nichtnegative ganze Zahlen, die nicht abscheulich sind, werden ''böse Zahlen'' (englisch ''evil numbers'') genannt.
Der Mathematiker John Horton Conway|John Conway hat 1982 in seinem Buch ''Winning Ways for Your Mathematical Plays''[https://annarchive.com/files/Winning%20 ... s%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 1, S. 110] (PDF) die Namen aufgrund eines Wortspiels etabliert. Die ''odious numbers'' haben eine ''odd'', also ungerade Anzahl an Einsen, die ''evil numbers'' eine ''even'', also gerade Anzahl an Einsen.
== Beispiele ==
* Die Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) von k=22 lautet:
:: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^0 = (10110)_2
: Diese Binärdarstellung besteht aus 3 Einsen. 3 ist eine ungerade Zahl und somit ist k=22 eine abscheuliche Zahl.
* Die Binärdarstellung von k=27 lautet:
:: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = (11011)_2
: Diese Binärdarstellung besteht aus 4 Einsen. 4 ist eine gerade Zahl und somit ist k=27 keine abscheuliche Zahl, sondern eine böse Zahl.
* Die ersten abscheulichen Zahlen, die kleiner als 100 sind, lauten:
:: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98, … (
== Eigenschaften ==
* Sei a(n) die n-te abscheuliche Zahl (mit a(0)=1).
: Dann gilt:
:: a(a(n))=2 \cdot a(n) für alle n
::: ''Beispiel:''
:::: Sei n=10. Obiger Zahlenfolge kann man entnehmen, dass a(n)=a(10)=21 ist. Weiters ist a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42. Tatsächlich ist a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n).
* Sei n eine positive ganze Zahl. Dann gilt:
:* Es gibt ein Vielfaches von n, die abscheulich und höchstens n \cdot (n+4) ist.
:* Zahlen, für die diese obere Grenze eng ist, sind genau die Mersenne-Zahlen mit geraden Exponenten, also Zahlen der Form 2^{2k}-1=4^k-1 (also 3, 15, 63, 255, … ( ::: ''Beispiel:''
:::: Sei n=10. Dann kann man der obigen Zahlenfolge entnehmen, dass unter den Vielfachen von 10 erstmals die Zahl 70 abscheulich ist. Tatsächlich ist 702. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:[https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious numbers] auf ''Numbers Aplenty''
:* Es gibt gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Darstellung im Dualsystem jeweils d Stellen haben.
:* Die Menge der bösen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem und die Menge der abscheulichen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem haben dieselbe Summe, nämlich
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Beispiel:''
::::: Sei d=5.
::::: Dann gibt es exakt 8 böse Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20'''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000)2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 und '''30'''=(11110)2
::::: Außerdem gibt es exakt 8 abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21'''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001)2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 und '''31'''=(11111)2
::::: Es gibt offensichtlich gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich 8, was die erste Aussage des obigen Satzes verlangt.
::::: Weiters ist 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3}=3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: Tatsächlich gilt für die Summe der 8 bösen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: Für die Summe der 8 abscheulichen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, gilt:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: Die Summe ist gleich, wie im obigen Satz angegeben.
* Sei die '''Nim-Addition''', \oplus, wie folgt definiert:
:: Für jedes Paar ganzzahliger, nichtnegativer Zahlen a,b \in \mathbb N gilt: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+(b)_2 mit 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (im letzten Fall aber ohne Übertrag auf die nächsthöhere Stelle).
: Dann gilt:
:: Die bösen und abscheulichen Zahlen verhalten sich unter „Nim-Addition“, \oplus, wie die geraden und ungeraden Zahlen unter „normaler“ Addition. Also gilt:
:::* böse \oplus böse = böse
:::* abscheulich \oplus abscheulich = böse
:::* böse \oplus abscheulich = abscheulich \oplus böse = abscheulich
::::: ''Beispiel 1:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 27=(11011)_2 eine böse Zahl ist, weiters ist auch 51=(110011)_2 eine böse Zahl:
::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
::::: ''Beispiel 2:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 22=(10110)_2 eine abscheuliche Zahl ist, weiters ist auch 52=(110100)_2 eine abscheuliche Zahl:
::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
::::: ''Beispiel 3:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 51 eine böse und 52 eine abscheuliche Zahl ist:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine ungerade Anzahl an Einsen, ist also eine abscheuliche Zahl.
* Es sind ein paar Zahlen bekannt, die der Summe ihrer abscheulichen Teiler entsprechen. Diese lauten:
:: 28, 496, 8128, 415800, 2096128, 33550336, 8589869056 ( : Bis auf 415800 und 2096128 sind alle diese Zahlen perfekte Zahlen. Man könnte obige Zahlen '''abscheulich-perfekte Zahlen''' nennen.Neil Sloane: [https://oeis.org/A212302 A212302: Numbers k whose sum of proper odious divisors (A000069) equals k.], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
::: ''Beispiel:''
:::: Die Binärdarstellung der abscheulichen Zahl n=28 lautet:
::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2
:::: Die Zahl n=28 hat die folgenden Teiler: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2, d_4=7=(111)_2, d_5=14=(1110)_2. Alle Teiler haben in ihrer Binärdarstellung eine ungerade Zahl von Einsen, somit sind alle Teiler abscheuliche Zahlen. Also hat die abscheuliche Zahl n=28 nur abscheuliche Teiler, die in Summe selbst 28 ergeben.
* Lässt man die letzte Stelle (also das letzte Bit) der Binärdarstellung der abscheulichen Zahlen weg, so erhält man die Menge der Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, ...Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Sequenz A001969: Evil numbers: nonnegative integers with an even number of 1's in their binary expansion], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen kann in die Menge der bösen Zahlen und in die Menge der abscheulichen Zahlen eindeutig aufgeteilt werden. Diese haben gleiche Multimengen von paarweisen Summen.
* In der Informatik haben abscheuliche Zahlen eine ungerade Paritätsbit|Parität.
[h4] In der Zahlentheorie ist eine '''abscheuliche Zahl''' (englisch ''odious number'') eine nichtnegative ganze Zahl, die im Dualsystem eine ungerade Zahl von Einsen hat.Neil Sloane: [https://oeis.org/A000069 Sequenz A000069: Odious numbers: numbers with an odd number of 1's in their binary expansion], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Nichtnegative ganze Zahlen, die nicht abscheulich sind, werden ''böse Zahlen'' (englisch ''evil numbers'') genannt.
Der Mathematiker John Horton Conway|John Conway hat 1982 in seinem Buch ''Winning Ways for Your Mathematical Plays''[https://annarchive.com/files/Winning%20Ways%20for%20Your%20Mathematical%20Plays%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 1, S. 110] (PDF) die Namen aufgrund eines Wortspiels etabliert. Die ''odious numbers'' haben eine ''odd'', also ungerade Anzahl an Einsen, die ''evil numbers'' eine ''even'', also gerade Anzahl an Einsen.
== Beispiele == * Die Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) von k=22 lautet: :: 22=16+0+4+2+0=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+0 \cdot 2^0 = (10110)_2 : Diese Binärdarstellung besteht aus 3 Einsen. 3 ist eine ungerade Zahl und somit ist k=22 eine abscheuliche Zahl.
* Die Binärdarstellung von k=27 lautet: :: 27=16+8+0+2+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = (11011)_2 : Diese Binärdarstellung besteht aus 4 Einsen. 4 ist eine gerade Zahl und somit ist k=27 keine abscheuliche Zahl, sondern eine böse Zahl.
* Die ersten abscheulichen Zahlen, die kleiner als 100 sind, lauten: :: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98, … ( == Eigenschaften == * Sei a(n) die n-te abscheuliche Zahl (mit a(0)=1). : Dann gilt: :: a(a(n))=2 \cdot a(n) für alle n ::: ''Beispiel:'' :::: Sei n=10. Obiger Zahlenfolge kann man entnehmen, dass a(n)=a(10)=21 ist. Weiters ist a(a(n))=a(a(10))=a(21)=42. Tatsächlich ist a(a(n)) = 42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot a(n).
* Sei n eine positive ganze Zahl. Dann gilt: :* Es gibt ein Vielfaches von n, die abscheulich und höchstens n \cdot (n+4) ist. :* Zahlen, für die diese obere Grenze eng ist, sind genau die Mersenne-Zahlen mit geraden Exponenten, also Zahlen der Form 2^{2k}-1=4^k-1 (also 3, 15, 63, 255, … ( ::: ''Beispiel:'' :::: Sei n=10. Dann kann man der obigen Zahlenfolge entnehmen, dass unter den Vielfachen von 10 erstmals die Zahl 70 abscheulich ist. Tatsächlich ist 702. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:[https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious numbers] auf ''Numbers Aplenty'' :* Es gibt gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Darstellung im Dualsystem jeweils d Stellen haben. :* Die Menge der bösen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem und die Menge der abscheulichen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem haben dieselbe Summe, nämlich ::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3} :::: ''Beispiel:'' ::::: Sei d=5. ::::: Dann gibt es exakt 8 böse Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden: :::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20'''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000)2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 und '''30'''=(11110)2 ::::: Außerdem gibt es exakt 8 abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden: :::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21'''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001)2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 und '''31'''=(11111)2 ::::: Es gibt offensichtlich gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich 8, was die erste Aussage des obigen Satzes verlangt. ::::: Weiters ist 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3}=3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188. ::::: Tatsächlich gilt für die Summe der 8 bösen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat: :::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188 ::::: Für die Summe der 8 abscheulichen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, gilt: :::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188 ::::: Die Summe ist gleich, wie im obigen Satz angegeben.
* Sei die '''Nim-Addition''', \oplus, wie folgt definiert: :: Für jedes Paar ganzzahliger, nichtnegativer Zahlen a,b \in \mathbb N gilt: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+(b)_2 mit 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (im letzten Fall aber ohne Übertrag auf die nächsthöhere Stelle). : Dann gilt: :: Die bösen und abscheulichen Zahlen verhalten sich unter „Nim-Addition“, \oplus, wie die geraden und ungeraden Zahlen unter „normaler“ Addition. Also gilt: :::* böse \oplus böse = böse :::* abscheulich \oplus abscheulich = böse :::* böse \oplus abscheulich = abscheulich \oplus böse = abscheulich ::::: ''Beispiel 1:'' :::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 27=(11011)_2 eine böse Zahl ist, weiters ist auch 51=(110011)_2 eine böse Zahl: ::::::: 27_{10} \oplus 51_{10} = (11011)_2 + (110011)_2 = (101000)_2 :::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl. ::::: ''Beispiel 2:'' :::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 22=(10110)_2 eine abscheuliche Zahl ist, weiters ist auch 52=(110100)_2 eine abscheuliche Zahl: ::::::: 22_{10} \oplus 52_{10} = (10110)_2 + (110100)_2 = (100010)_2 :::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl. ::::: ''Beispiel 3:'' :::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 51 eine böse und 52 eine abscheuliche Zahl ist: ::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2 :::::: Das Ergebnis hat eine ungerade Anzahl an Einsen, ist also eine abscheuliche Zahl.
* Es sind ein paar Zahlen bekannt, die der Summe ihrer abscheulichen Teiler entsprechen. Diese lauten: :: 28, 496, 8128, 415800, 2096128, 33550336, 8589869056 ( : Bis auf 415800 und 2096128 sind alle diese Zahlen perfekte Zahlen. Man könnte obige Zahlen '''abscheulich-perfekte Zahlen''' nennen.Neil Sloane: [https://oeis.org/A212302 A212302: Numbers k whose sum of proper odious divisors (A000069) equals k.], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ::: ''Beispiel:'' :::: Die Binärdarstellung der abscheulichen Zahl n=28 lautet: ::::: n=28=16+8+4+0+0=1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(11100)_2 :::: Die Zahl n=28 hat die folgenden Teiler: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=4=(100)_2, d_4=7=(111)_2, d_5=14=(1110)_2. Alle Teiler haben in ihrer Binärdarstellung eine ungerade Zahl von Einsen, somit sind alle Teiler abscheuliche Zahlen. Also hat die abscheuliche Zahl n=28 nur abscheuliche Teiler, die in Summe selbst 28 ergeben.
* Lässt man die letzte Stelle (also das letzte Bit) der Binärdarstellung der abscheulichen Zahlen weg, so erhält man die Menge der Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, ...Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Sequenz A001969: Evil numbers: nonnegative integers with an even number of 1's in their binary expansion], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen kann in die Menge der bösen Zahlen und in die Menge der abscheulichen Zahlen eindeutig aufgeteilt werden. Diese haben gleiche Multimengen von paarweisen Summen.
* In der Informatik haben abscheuliche Zahlen eine ungerade Paritätsbit|Parität.
== Literatur == *
* * [https://www.numbersaplenty.com/set/odious_number/ odious numbers] auf ''Numbers Aplenty''
Peter-Paul Zahl (geboren am 14. März 1944 in Freiburg im Breisgau; gestorben am 24. Januar 2011 in Port Antonio, Jamaika) war ein in Deutschland geborener anarchistisch-libertärer Autor und...
In der Zahlentheorie ist eine '''böse Zahl''' (englisch ''evil number'') eine nichtnegative ganze Zahl, die im Dualsystem eine gerade Zahl von Einsen hat.Neil Sloane: , auf On-Line Encyclopedia of...
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