Böse Zahl ⇐ Artikelentwürfe

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In der Zahlentheorie ist eine '''böse Zahl''' (englisch ''evil number'') eine nichtnegative ganze Zahl, die im Dualsystem eine gerade Zahl von Einsen hat.Neil Sloane: [https://oeis.org/A001969 Sequenz A001969: Evil numbers: nonnegative integers with an even number of 1's in their binary expansion], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Nichtnegative ganze Zahlen, die nicht böse sind, werden ''abscheuliche Zahlen'' (englisch ''odious numbers'') genannt.

Der Mathematiker John Horton Conway|John Conway hat 1982 in seinem Buch ''Winning Ways for Your Mathematical Plays''[https://annarchive.com/files/Winning%20 ... s%20V1.pdf Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 1, S. 110] (PDF) die Namen aufgrund eines Wortspiels etabliert. Die ''evil numbers'' haben eine ''even'', also gerade Anzahl an Einsen, die ''odious numbers'' eine ''odd'', also ungerade Anzahl an Einsen.

== Beispiele ==
* Die Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) von k=23 lautet:
:: 23=16+0+4+2+1=1 \cdot 2^4+0 \cdot 2^3+1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = (10111)_2
: Diese Binärdarstellung besteht aus 4 Einsen. 4 ist eine gerade Zahl und somit ist k=23 eine böse Zahl.

* Die Binärdarstellung von k=25 lautet:
:: 25=16+8+0+0+1=1 \cdot 2^4+1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = (11001)_2
: Diese Binärdarstellung besteht aus 3 Einsen. 3 ist eine ungerade Zahl und somit ist k=25 keine böse Zahl, sondern eine abscheuliche Zahl.

* Die ersten bösen Zahlen, die kleiner als 100 sind, lauten:
:: 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, … (
== Eigenschaften ==
* Sei d>2. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:[https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ evil numbers] auf ''Numbers Aplenty''
:* Es gibt gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Darstellung im Dualsystem jeweils d Stellen haben.
:* Die Menge der bösen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem und die Menge der abscheulichen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem haben dieselbe Summe, nämlich
::: 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}
:::: ''Beispiel:''
::::: Sei d=5.
::::: Dann gibt es exakt 8 böse Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
:::::: '''17'''=(10001)2, '''18'''=(10010)2, '''20'''=(10100)2, '''23'''=(10111)2, '''24'''=(11000)2, '''27'''=(11011)2, '''29'''=(11101)2 und '''30'''=(11110)2
::::: Außerdem gibt es exakt 8 abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
:::::: '''16'''=(10000)2, '''19'''=(10011)2, '''21'''=(10101)2, '''22'''=(10110)2, '''25'''=(11001)2, '''26'''=(11010)2, '''28'''=(11100)2 und '''31'''=(11111)2
::::: Es gibt offensichtlich gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich 8, was die erste Aussage des obigen Satzes verlangt.
::::: Weiters ist 3 \cdot 2^{2d-4}-2^{d-3}=3 \cdot 2^{2 \cdot 5-4}-2^{5-3}=3 \cdot 2^6-2^2=3 \cdot {64}-4=192-4=188.
::::: Tatsächlich gilt für die Summe der 8 bösen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat:
:::::: 17+18+20+23+24+27+29+30=188
::::: Für die Summe der 8 abscheulichen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, gilt:
:::::: 16+19+21+22+25+26+28+31=188
::::: Die Summe ist gleich, wie im obigen Satz angegeben.

* Sei die '''Nim-Addition''', \oplus, wie folgt definiert:
:: Für jedes Paar ganzzahliger, nichtnegativer Zahlen a,b \in \mathbb N gilt: (a)_{10} \oplus (b)_{10} = (a)_2+(b)_2 mit 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (im letzten Fall aber ohne Übertrag auf die nächsthöhere Stelle).
: Dann gilt:
:: Die bösen und abscheulichen Zahlen verhalten sich unter „Nim-Addition“, \oplus, wie die geraden und ungeraden Zahlen unter „normaler“ Addition. Also gilt:
:::* böse \oplus böse = böse
:::* abscheulich \oplus abscheulich = böse
:::* böse \oplus abscheulich = abscheulich \oplus böse = abscheulich
::::: ''Beispiel 1:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 23=(10111)_2 eine böse Zahl ist, weiters ist auch 51=(110011)_2 eine böse Zahl:
::::::: 23_{10} \oplus 51_{10} = (10111)_2 + (110011)_2 = (100100)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
::::: ''Beispiel 2:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 25=(11001)_2 eine abscheuliche Zahl ist, weiters ist auch 52=(110100)_2 eine abscheuliche Zahl:
::::::: 25_{10} \oplus 52_{10} = (11001)_2 + (110100)_2 = (101101)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
::::: ''Beispiel 3:''
:::::: Weiter oben wurde gezeigt, dass 51 eine böse und 52 eine abscheuliche Zahl ist:
::::::: 51_{10} \oplus 52_{10} = (110011)_2 + (110100)_2 = (000111)_2
:::::: Das Ergebnis hat eine ungerade Anzahl an Einsen, ist also eine abscheuliche Zahl.

* Es gibt Magisches Quadrat|magische Quadrate, die nur aus bösen Zahlen bestehen. Das magische Quadrat mit den kleinsten bösen Zahlen ist das folgende:

* Lässt man die letzte Stelle (also das letzte Bit) der Binärdarstellung der bösen Zahlen weg, so erhält man die Menge der Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, ...

* Böse Zahlen geben die Positionen der Nullwerte in der Thue-Morse-Folge an und werden daher auch '''Thue-Morse-Menge''' genannt.
::''Beispiel:''
::: Die Morse-Folge lautet:
:::: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … ( ::: Tatsächlich hat diese Folge, wenn man mit 0 zu zählen beginnt, an der 0., der 3., der 5., der 6., der 9., der 10. usw. Stelle eine Null. Die bösen Zahlen geben also die Stellen an, an denen die Morse-Folge eine Null hat.

* Es sind Zahlen bekannt, die der Summe ihrer bösen Teiler entsprechen. Diese lauten:Neil Sloane: [https://oeis.org/A230587 Sequenz A230587: Number n such that the sum of its proper evil divisors (A001969) equals n.], auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
:: 18, 476, 1484, 1988, 2324, 3164, 4172, 4564, 5516, 7196, 7364, 7532, 8036, 8876, 9716, 9772, 10052, 10444, 10892, 11956, 12572, 13076, 13412, 14084, 16604, 16772, 18004, 19866, 20692, 21328, 21364, 21644, 22316, 22988, 23492, 23884, 23996, 24164, 24668, 24836, … ( : Man könnte obige Zahlen '''böse-perfekte Zahlen''' nennen.
::: ''Beispiel:''
:::: Die Binärdarstellung der bösen Zahl n=18 lautet:
::::: n=18=16+0+0+2+0=1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 =(10010)_2
:::: Die Zahl n=18 hat die folgenden Teiler: d_1=1=(1)_2, d_2=2=(10)_2, d_3=3=(11)_2, d_4=6=(110)_2, d_5=9=(1001)_2. Die Teiler 3, 6 und 9 haben in ihrer Binärdarstellung eine gerade Zahl von Einsen, sind also böse Zahlen und es gilt: 3+6+9=18. Somit ist 18 die Summe ihrer bösen Teiler.

* Die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen kann in die Menge der bösen Zahlen und in die Menge der abscheulichen Zahlen eindeutig aufgeteilt werden. Diese haben gleiche Multimengen von paarweisen Summen.

* Die Aufteilung der Zahlen von 0 bis 2^k-1 für alle natürlichen Zahlen k \in \mathbb N in böse und abscheuliche Zahlen bietet eine Lösung für das Prouhet-Tarry-Escott-Problem, Zahlenmengen zu finden, deren Potenzsummen bis zur k-ten Potenz gleich sind.
:: Diese Aussage wurde vom französischen Mathematiker Eugène Prouhet im 19. Jahrhundert bewiesen.

* In der Informatik haben böse Zahlen eine gerade Paritätsbit|Parität.

== Literatur ==
*

* * [https://www.numbersaplenty.com/set/evil_number/ evil numbers] auf ''Numbers Aplenty''



Kategorie:Ganzzahlmenge
Kategorie:Zahlentheorie