Hamiltonscher Symplektomorphismus ⇐ Artikelentwürfe

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Ein '''Hamiltonscher Symplektomorphismus''' ist im Mathematik|mathematischen Teilgebiet der Symplektische Geometrie|symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) eine spezielle Kombination aus Symplektische Abbildung|symplektischer Abbildung und Diffeomorphismus zwischen Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeiten. Hamiltonsche Symplektomorphismen sind zentral für die mathematische Formulierung der Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik in der Physik, in der diese Transformationen des Phasenraum|Phasenraumes beschreiben.

== Definition ==
Für eine symplektische Mannigfaltigkeit (M,\omega) ist ein Symplektomorphismus f\colon M\rightarrow M, für welchen eine Hamiltonsche Isotopie zur (symplektischen) Identische Abbildung|Identität \operatorname{id}_M\colon
M\rightarrow M existiert, ein ''Hamiltonscher Symplektomorphismus''.McDuff & Salamon 1998, Seite 88

* Eine Homotopie H\colon M\times[0,1]\rightarrow M mit H(-,0)
=\operatorname{id}_M und H(-,1)
=f, für welche H(-,t) für alle t\in[0,1] Symplektomorphismus|symplektisch ist, ist eine ''symplektische Isotopie''.
* Eine symplektische Isotopie H\colon M\times[0,1]\rightarrow M, für welche die generierenden Vektorfelder X_t mit H(-,t)'=X_t\circ H(-,t) für alle t\in[0,1] jeweils Hamiltonsches Vektorfeld|Hamiltonsche Vektorfelder sind, ist eine ''Hamiltonsche Isotopie''.

Ein Hamiltonscher Symplektomorphismus f\colon M\rightarrow M, dessen Graph \operatorname{graph}(f) die Diagonale \Delta_M=\{(x,x)|x\in M\}\subset M\times M Transversalität|transversal schneidet, also sodass für jeden ihrer Schnittpunkte x\in M, also Fixpunkte von f mit f(x)=x, gilt, dass T_{(x,x)}\operatorname{graph}(f)+T_{(x,x)}\Delta_M=T_{(x,x)}(M\times M), wird ''nichtdegeneriert'' genannt, andernfalls ''degeneriert''.

== Eigenschaften ==

* Die Identische Abbildung|Identität auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit ist ein Hamiltonscher Symplektomorphismus.
* Die Komposition (Mathematik)|Komposition von Hamiltonschen Symplektomorphismen ist ein Hamiltonscher Symplektomorphismus.
* Die Umkehrabbildung eines Hamiltonschen Symplektomorphismus ist ein Hamiltonscher Symplektomorphismus.

== Gruppe der Hamiltonschen Symplektomorphismen ==
Gemäß der Lemmata bilden die Hamiltonschen Symplektomorphismen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,\omega) eine Gruppe (Mathematik)|Gruppe, notiert als \operatorname{Ham}(M,\omega).

* \operatorname{Ham}(M,\omega) ist eine normale Untergruppe von \operatorname{Symp}(M,\omega), der Gruppe der Symplektomorphismen.McDuff & Salamon 1998, Proposition 10.2

* Für M Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossen ist \operatorname{Ham}(M,\omega) Einfache Gruppe (Mathematik)|einfach, enthält also keine nicht trivialen normalen Untergruppen.McDuff & Salamon 1998, Theorem 10.25

== Weblinks ==

* nlab:Hamiltonian+symplectomorphism|Hamiltonian symplectomorphism auf nLab (Englische Sprache|englisch)
* nlab:Hamiltonian+symplectomorphism+group|Hamiltonian symplectomorphism group auf nLab (englisch)

== Literatur ==

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== Einzelnachweise ==


Kategorie:Symplektische Topologie