Der '''Satz von Schinzel''' gehört zur Geometrische Zahlentheorie|geometrischen Zahlentheorie und lautet wie folgt:
:Für jede natürliche Zahl|natürliche Zahl n gibt es einen Kreis in der Ebene (Mathematik)|Ebene, der durch genau n Gitter (Mathematik)|Gitterpunkte mit ganzzahligen Koordinaten verläuft. Diese Kreise haben die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung:
::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1} \quad für gerade n mit n=2k
::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k} \quad für ungerade n mit n=2k+1
Die so erhaltenen Kreise nennt man '''Schinzel-Kreise''' (auf Englisch ''Schinzel Circle'').
Dieser Satz (Mathematik)|Satz wurde vom polnischen Mathematiker Andrzej Schinzel im Jahr 1958 bewiesen.
== Beweis ==
Schinzel bewies diesen Satz wie folgt:
* Sei n eine gerade Zahl, also n=2k. Dann hat der Kreis, der durch genau n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung:
::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1}
:Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M (\frac{1}{2} / 0) und den Radius r=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5^{k-1.
:Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
::(2x-1)^2 + (2y)^2 = 5^{k-1}
:Bei dieser Kreisgleichung wird 5^{k-1} als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei (2x-1)^2 als Quadrat einer ungeraden Zahl 2x-1 sicherlich ungerade und (2y)^2 als Quadrat einer geraden Zahl 2y sicherlich gerade ist. Es gibt genau 4k Möglichkeiten, 5^{k-1} als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.
Beispiele
::''Beispiel 1'': ''(siehe auch Grafik rechts)''
:::Sei k=2. Dann erhalten wir die folgenden \frac{4k}{2}=\frac{8}{2}=4 Möglichkeiten, die Zahl 5^{k-1}=5^1=5 in der Form ungerade–gerade darzustellen:
:::(\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 = 5^1, also erhalten wir 2x-1= \pm 1 und 2y= \pm 2. Formt man 2x-1= \pm 1 um, so erhält man x_1=1, x_2=0 und formt man 2y= \pm 2, so erhält man y_1=1, y_2=-1. Somit ergeben sich die vier Punkte P_1(1/1), P_2(1/-1), P_3(0/1), P_4(0/-1), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis mit n=2k=4 geht.
::''Beispiel 2'':
:::Sei k=3. Dann erhalten wir die folgenden \frac{4k}{2}=\frac{12}{2}=6 Möglichkeiten, die Zahl 5^{k-1}=5^2=25 in der Form ungerade–gerade darzustellen:
:::: ''Fall 1'': (\pm 3)^2 + (\pm 4)^2 = 25, also erhalten wir 2x-1= \pm 3 und 2y= \pm 4. Formt man 2x-1= \pm 3 um, so erhält man x_1=2, x_2=-1 und formt man 2y= \pm 4, so erhält man y_1=2, y_2=-2.
:::::Somit ergeben sich die vier Punkte P_1(2/2), P_2(2/-2), P_3(-1/2), P_4(-1/-2), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 2'': (\pm 5)^2 + (\pm 0)^2 = 25, also erhalten wir 2x-1= \pm 5 und 2y=0. Formt man 2x-1= \pm 5 um, so erhält man x_1=3, x_2=-2 und formt man 2y= 0, so erhält man y_1=y_2=0.
:::::Somit ergeben sich die weiteren zwei Punkte P_5(3/0), P_6(-2/0), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
::: Insgesamt erhält man somit die gesuchten 6 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, duch die der Schinzel-Kreis mit n=2k=6 geht.
* Sei n eine ungerade Zahl, also n=2k+1. Dann hat der Kreis, der durch genau n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung:
::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k}
:Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M (\frac{1}{3} / 0) und den Radius r=\frac{1}{3} \cdot 5^k.
:Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung:
::(3x-1)^2 + (3y)^2 = 5^{2k}
:Bei dieser Kreisgleichung wird 5^{2k} als Summe zweier Quadrate dargestellt.
Beispiel
::''Beispiel'':
:::Sei k=2. Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl 5^{2k}=5^4=625 darzustellen:
:::: ''Fall 1'': (\pm 7)^2 + (\pm 24)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 7 und 3y= \pm 24. Formt man 3x-1= \pm 7 um, so erhält man x_1=\frac{8}{3}, x_2=-2 und formt man 3y= \pm 24, so erhält man y_1=8, y_2=-8.
:::::Somit ergeben sich zwei Punkte P_1(-2/8), P_2(-2/-8), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 2'': (\pm 24)^2 + (\pm 7)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 24 und 3y= \pm 7. Formt man 3x-1= \pm 24 um, so erhält man x_1=\frac{25}{3}, x_2=-\frac{23}{3} und formt man 3y= \pm 7, so erhält man y_1=\frac{7}{3}, y_2=-\frac{7}{3}.
:::::Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 3'': (\pm 15)^2 + (\pm 20)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 15 und 3y= \pm 20. Formt man 3x-1= \pm 15 um, so erhält man x_1=\frac{16}{3}, x_2=-\frac{14}{3} und formt man 3y= \pm 20, so erhält man y_1=\frac{20}{3}, y_2=-\frac{20}{3}.
:::::Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 4'': (\pm 20)^2 + (\pm 15)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 20 und 3y= \pm 15. Formt man 3x-1= \pm 20 um, so erhält man x_1=7, x_2=-\frac{19}{3} und formt man 3y= \pm 15, so erhält man y_1=5, y_2=-5.
:::::Somit ergeben sich zwei Punkte P_3(7/5), P_4(7/-5), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 5'': (\pm 25)^2 + (\pm 0)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 25 und 3y=0. Formt man 3x-1= \pm 25 um, so erhält man x_1=\frac{26}{3}, x_2=-8 und formt man 3y= 0, so erhält man y_1=y_2=0.
:::::Somit ergibt sich nur ein weiterer Punkt P_5(-8/0), der ganzzahlige Koordinaten hat und durch den der Schinzel-Kreis geht.
:::: ''Fall 6'': (\pm 0)^2 + (\pm 25)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= 0 und 3y= \pm 25. Formt man 3x-1=0 um, so erhält man x_1=x_2=\frac{1}{3} und man erhält sicherlich keine ganzzahligen Koordinaten.
::: Insgesamt erhält man somit die gesuchten 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten (P_1(-2/8), P_2(-2/-8), P_3(7/5), P_4(7/-5), P_5(-8/0)), duch die der Schinzel-Kreis mit n=2k+1=5 geht.
== Eigenschaften ==
Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen.
Beispiel
:''Beispiel'':
::* Sei n=2 \cdot 4+1=9. Dann ist k=4 und der Schinzel-Kreis hat die folgende Darstellung:
:::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{8} \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) und Radius r=\frac{1}{3} \cdot 5^4=\frac{625}{3} \approx 208,33
::: Es ist 0^2+625^2=175^2+600^2=220^2+585^2=336^2+527^2=375^3+500^2=625^2
::: Mit obiger Methode erhält man die folgenden Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten), durch die der Schinzel-Kreis mit n=2 \cdot 4+1=9 geht. Sie liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch:
:::: P_1 ( -208 / 0 ), P_2 ( -73 / 195 ), P_3 ( -73 / -195 ), P_4 ( -58 / 200 ), P_5 ( -58 / -200 ), P_6 ( 167 / 125 ), P_7 ( 167 / -125 ), P_8 ( 176 / 112 ), P_9 ( 176 / -112 )
::* Es gibt aber einen kleineren Kreis, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht und denselben Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) hat:
::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 65^2 \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) und Radius r=\frac{1}{3} \cdot 65=\frac{65}{3} \approx 21,67
:::Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die ebenfalls bezüglich der x-Achse symmetrisch liegen:
:::: P_1 ( -17 / 13 ), P_2 ( -17 / -13 ), P_3 ( -8 / 20 ), P_4 ( -8 / -20 ), P_5 ( -5 / 21 ), P_6 ( -5 / -21 ), P_7 ( 19 / 11 ), P_8 ( 19 / -11 ), P_9 ( 22 / 0 )
::* Der tatsächlich kleinste Kreis aber, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, ist der folgende:Ed Pegg Jr.: [https://demonstrations.wolfram.com/LatticeCircles/ ''Lattice Circles''], März 2011
::::\left( x-\frac{1}{6} \right)^2 + \left( y-\frac{1}{6} \right)^2 = \frac{4225}{18} \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{6}/ \frac{1}{6}) und Radius r=\sqrt{\frac{4225}{18=\frac{65}{3 \cdot \sqrt{2=\frac{65}{6} \cdot \sqrt{2} \approx 15,32
:::Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die nicht symmetrisch bezüglich der x-Achse sind:
::::P_1 ( -15 / -2 ), P_2 ( -14 / 6 ), P_3 ( -13 / 8 ), P_4 ( -2 / -15 ), P_5 ( 4 / 15 ), P_6 ( 6 / -14 ), P_7 ( 8 / -13 ), P_8 ( 11 / 11 ), P_9 ( 15 / 4 )
== Vergleich Schinzel-Kreise – kleinstmögliche Kreise ==
Die folgende Tabelle gibt für 4 \leq n \leq 12 die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:
Wie man erkennen kann, ist für n=6 und n=10 der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für n=9 und n=11 ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit n Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.
[h4] Der '''Satz von Schinzel''' gehört zur Geometrische Zahlentheorie|geometrischen Zahlentheorie und lautet wie folgt:
:Für jede natürliche Zahl|natürliche Zahl n gibt es einen Kreis in der Ebene (Mathematik)|Ebene, der durch genau n Gitter (Mathematik)|Gitterpunkte mit ganzzahligen Koordinaten verläuft. Diese Kreise haben die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung: ::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1} \quad für gerade n mit n=2k ::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k} \quad für ungerade n mit n=2k+1 Die so erhaltenen Kreise nennt man '''Schinzel-Kreise''' (auf Englisch ''Schinzel Circle'').
Dieser Satz (Mathematik)|Satz wurde vom polnischen Mathematiker Andrzej Schinzel im [url=viewtopic.php?t=6460]Jahr[/url] 1958 bewiesen.
== Beweis == Schinzel bewies diesen Satz wie folgt:
* Sei n eine gerade Zahl, also n=2k. Dann hat der Kreis, der durch genau n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung: ::\left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \cdot 5^{k-1} :Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M (\frac{1}{2} / 0) und den Radius r=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5^{k-1.
:Wenn man obige Kreisgleichung mit 4 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung: ::(2x-1)^2 + (2y)^2 = 5^{k-1} :Bei dieser Kreisgleichung wird 5^{k-1} als Summe zweier Quadrate dargestellt, wobei (2x-1)^2 als Quadrat einer ungeraden Zahl 2x-1 sicherlich ungerade und (2y)^2 als Quadrat einer geraden Zahl 2y sicherlich gerade ist. Es gibt genau 4k Möglichkeiten, 5^{k-1} als Summe zweier Quadrate darzustellen, wegen der Symmetrie ist die Hälfte davon in der Form ungerade–gerade.
Beispiele
::''Beispiel 1'': ''(siehe auch Grafik rechts)'' :::Sei k=2. Dann erhalten wir die folgenden \frac{4k}{2}=\frac{8}{2}=4 Möglichkeiten, die Zahl 5^{k-1}=5^1=5 in der Form ungerade–gerade darzustellen: :::(\pm 1)^2 + (\pm 2)^2 = 5^1, also erhalten wir 2x-1= \pm 1 und 2y= \pm 2. Formt man 2x-1= \pm 1 um, so erhält man x_1=1, x_2=0 und formt man 2y= \pm 2, so erhält man y_1=1, y_2=-1. Somit ergeben sich die vier Punkte P_1(1/1), P_2(1/-1), P_3(0/1), P_4(0/-1), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis mit n=2k=4 geht.
::''Beispiel 2'': :::Sei k=3. Dann erhalten wir die folgenden \frac{4k}{2}=\frac{12}{2}=6 Möglichkeiten, die Zahl 5^{k-1}=5^2=25 in der Form ungerade–gerade darzustellen: :::: ''Fall 1'': (\pm 3)^2 + (\pm 4)^2 = 25, also erhalten wir 2x-1= \pm 3 und 2y= \pm 4. Formt man 2x-1= \pm 3 um, so erhält man x_1=2, x_2=-1 und formt man 2y= \pm 4, so erhält man y_1=2, y_2=-2. :::::Somit ergeben sich die vier Punkte P_1(2/2), P_2(2/-2), P_3(-1/2), P_4(-1/-2), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 2'': (\pm 5)^2 + (\pm 0)^2 = 25, also erhalten wir 2x-1= \pm 5 und 2y=0. Formt man 2x-1= \pm 5 um, so erhält man x_1=3, x_2=-2 und formt man 2y= 0, so erhält man y_1=y_2=0. :::::Somit ergeben sich die weiteren zwei Punkte P_5(3/0), P_6(-2/0), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. ::: Insgesamt erhält man somit die gesuchten 6 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, duch die der Schinzel-Kreis mit n=2k=6 geht.
* Sei n eine ungerade Zahl, also n=2k+1. Dann hat der Kreis, der durch genau n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, die folgende Kreis#Gleichungen|Koordinatengleichung: ::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{2k} :Dieser Kreis hat den Mittelpunkt M (\frac{1}{3} / 0) und den Radius r=\frac{1}{3} \cdot 5^k.
:Wenn man obige Kreisgleichung mit 9 multipliziert, erhält man eine äquivalente Kreisgleichung: ::(3x-1)^2 + (3y)^2 = 5^{2k} :Bei dieser Kreisgleichung wird 5^{2k} als Summe zweier Quadrate dargestellt.
Beispiel
::''Beispiel'': :::Sei k=2. Dann erhalten wir die folgenden Möglichkeiten, die Zahl 5^{2k}=5^4=625 darzustellen: :::: ''Fall 1'': (\pm 7)^2 + (\pm 24)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 7 und 3y= \pm 24. Formt man 3x-1= \pm 7 um, so erhält man x_1=\frac{8}{3}, x_2=-2 und formt man 3y= \pm 24, so erhält man y_1=8, y_2=-8. :::::Somit ergeben sich zwei Punkte P_1(-2/8), P_2(-2/-8), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 2'': (\pm 24)^2 + (\pm 7)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 24 und 3y= \pm 7. Formt man 3x-1= \pm 24 um, so erhält man x_1=\frac{25}{3}, x_2=-\frac{23}{3} und formt man 3y= \pm 7, so erhält man y_1=\frac{7}{3}, y_2=-\frac{7}{3}. :::::Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 3'': (\pm 15)^2 + (\pm 20)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 15 und 3y= \pm 20. Formt man 3x-1= \pm 15 um, so erhält man x_1=\frac{16}{3}, x_2=-\frac{14}{3} und formt man 3y= \pm 20, so erhält man y_1=\frac{20}{3}, y_2=-\frac{20}{3}. :::::Somit ergeben sich keine Punkte, die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 4'': (\pm 20)^2 + (\pm 15)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 20 und 3y= \pm 15. Formt man 3x-1= \pm 20 um, so erhält man x_1=7, x_2=-\frac{19}{3} und formt man 3y= \pm 15, so erhält man y_1=5, y_2=-5. :::::Somit ergeben sich zwei Punkte P_3(7/5), P_4(7/-5), die ganzzahlige Koordinaten haben und durch die der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 5'': (\pm 25)^2 + (\pm 0)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= \pm 25 und 3y=0. Formt man 3x-1= \pm 25 um, so erhält man x_1=\frac{26}{3}, x_2=-8 und formt man 3y= 0, so erhält man y_1=y_2=0. :::::Somit ergibt sich nur ein weiterer Punkt P_5(-8/0), der ganzzahlige Koordinaten hat und durch den der Schinzel-Kreis geht. :::: ''Fall 6'': (\pm 0)^2 + (\pm 25)^2 = 625, also erhalten wir 3x-1= 0 und 3y= \pm 25. Formt man 3x-1=0 um, so erhält man x_1=x_2=\frac{1}{3} und man erhält sicherlich keine ganzzahligen Koordinaten. ::: Insgesamt erhält man somit die gesuchten 5 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten (P_1(-2/8), P_2(-2/-8), P_3(7/5), P_4(7/-5), P_5(-8/0)), duch die der Schinzel-Kreis mit n=2k+1=5 geht.
== Eigenschaften == Die Kreise, die Schinzel mit obiger Methode erzeugt hat, sind nicht unbedingt die kleinstmöglichen Kreise, die durch die gegebene Anzahl ganzzahliger Punkte verlaufen.
Beispiel
:''Beispiel'': ::* Sei n=2 \cdot 4+1=9. Dann ist k=4 und der Schinzel-Kreis hat die folgende Darstellung: :::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 5^{8} \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) und Radius r=\frac{1}{3} \cdot 5^4=\frac{625}{3} \approx 208,33 ::: Es ist 0^2+625^2=175^2+600^2=220^2+585^2=336^2+527^2=375^3+500^2=625^2 ::: Mit obiger Methode erhält man die folgenden Punkte (mit ganzzahligen Koordinaten), durch die der Schinzel-Kreis mit n=2 \cdot 4+1=9 geht. Sie liegen bezüglich der x-Achse symmetrisch: :::: P_1 ( -208 / 0 ), P_2 ( -73 / 195 ), P_3 ( -73 / -195 ), P_4 ( -58 / 200 ), P_5 ( -58 / -200 ), P_6 ( 167 / 125 ), P_7 ( 167 / -125 ), P_8 ( 176 / 112 ), P_9 ( 176 / -112 )
::* Es gibt aber einen kleineren Kreis, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht und denselben Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) hat: ::::\left( x-\frac{1}{3} \right)^2 + y^2 = \frac{1}{9} \cdot 65^2 \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{3}/ 0) und Radius r=\frac{1}{3} \cdot 65=\frac{65}{3} \approx 21,67 :::Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die ebenfalls bezüglich der x-Achse symmetrisch liegen: :::: P_1 ( -17 / 13 ), P_2 ( -17 / -13 ), P_3 ( -8 / 20 ), P_4 ( -8 / -20 ), P_5 ( -5 / 21 ), P_6 ( -5 / -21 ), P_7 ( 19 / 11 ), P_8 ( 19 / -11 ), P_9 ( 22 / 0 )
::* Der tatsächlich kleinste Kreis aber, der durch 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten geht, ist der folgende:Ed Pegg Jr.: [https://demonstrations.wolfram.com/LatticeCircles/ ''Lattice Circles''], März 2011 ::::\left( x-\frac{1}{6} \right)^2 + \left( y-\frac{1}{6} \right)^2 = \frac{4225}{18} \quad mit Mittelpunkt M (\frac{1}{6}/ \frac{1}{6}) und Radius r=\sqrt{\frac{4225}{18=\frac{65}{3 \cdot \sqrt{2=\frac{65}{6} \cdot \sqrt{2} \approx 15,32 :::Dieser Kreis geht durch die folgenden 9 Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, die nicht symmetrisch bezüglich der x-Achse sind: ::::P_1 ( -15 / -2 ), P_2 ( -14 / 6 ), P_3 ( -13 / 8 ), P_4 ( -2 / -15 ), P_5 ( 4 / 15 ), P_6 ( 6 / -14 ), P_7 ( 8 / -13 ), P_8 ( 11 / 11 ), P_9 ( 15 / 4 )
== Vergleich Schinzel-Kreise – kleinstmögliche Kreise == Die folgende Tabelle gibt für 4 \leq n \leq 12 die mit obiger Formel berechneten Schinzelkreise an und vergleicht sie mit den tatsächlich kleinsten Kreisen, die durch n Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gehen:
Wie man erkennen kann, ist für n=6 und n=10 der Schinzel-Kreis tatsächlich der kleinstmögliche Kreis. Für n=9 und n=11 ist der Schinzel-Kreis um ein Vielfaches größer als der kleinstmögliche Kreis mit n Punkten mit ganzzahligen Koordinaten.
* * * * Ed Pegg Jr.: [https://demonstrations.wolfram.com/LatticeCircles/ ''Lattice Circles''], März 2011
Kategorie:Kreisgeometrie Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Thales, Satz von [/h4]
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