Satz von Cross ⇐ Artikelentwürfe

[Anonymous]

In der Mathematik, insbesondere in der Geometrie, setzt der Kreuzsatz, auch bekannt als Vecten-Satz, die Fläche eines Dreiecks mit der Fläche der Dreiecke gleich, die durch Quadrate gebildet werden, die entlang seiner Kanten (Geometrie) gezogen werden.

== Satz ==
Sei \triangle ABC ein Dreieck auf der euklidischen Ebene (\mathbb{R}^2). Angenommen, die Quadrate DABE, FBCG und HCAI werden auf der Außenseite einer Menge|außerhalb von \triangle ABC gezeichnet. Dann sind die Flächen der vier Dreiecke \triangle ABC, \triangle AID, \triangle BEF und \triangle CGH gleich.
== Beweise ==

=== Beweis durch Rotation ===
Drehung|Rotieren Sie \triangle AID um einen rechten Winkel, sodass D mit B zusammenfällt, und lassen Sie dieses neue Dreieck \triangle AI'B sein. Es ist klar, dass |AC|=|AI'| und dass C, A und I Kollinearität|kollinear sind. Daher sind die Flächen der Dreiecke \triangle ABC und \triangle AI'B gleich. Da \triangle AI'B einfach eine Drehung von \triangle AID ist, folgt daraus, dass \triangle ABC und \triangle AID die gleiche Fläche haben. Ähnliche Argumente beweisen die Gleichheit aller vier Bereiche.

=== Beweis durch Formel für Fläche ===
Beachten Sie, dass \angle CAB und \angle DAI Ergänzungswinkel sind. Deshalb haben wir

[DAI]

=\frac12|AD||AI|\sin(\angle DAI)

=\frac12|AB||AC|\sin(\angle CAB)

[ABC],

was gewünscht war. Ähnliche Argumente zeigen, dass alle vier Bereiche gleich sind.

== Geschichte ==
Der Satz von Cross wurde nach David Cross benannt, der ihn 2004 (unabhängig) entdeckte. Diese Konfiguration wurde auch von Vecten untersucht, und daher kann der Satz auch als Satz von Vecten bezeichnet werden. Der Satz von Vecten bezieht sich jedoch häufiger auf den Satz, der die Existenz der Vecten-Punkte (Vecten-Punkte) eines Dreiecks angibt.
== Siehe auch ==

* Vecten-Punkte – Punkte, die durch quadratische Mittelpunkte gebildet werden
* Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras – Satz über Längen im rechtwinkligen Dreieck