Semilokal einfach zusammenhängender Raum ⇐ Artikelentwürfe

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In der Algebraische Topologie|algebraischen Topologie einem Teilgebiet der Mathematik, wir ein topologischer Raum als '''semilokal einfach zusammenhängend''' bezeichnet, wenn er genügend viele (lokale) Zusammenhangseigenschaften erfüllt, die vereinfacht gesprochen garantieren, dass eine untere Schranke für die Größe seiner Löcher existiert. Semilokal einfacher Zusammenhang wird in der Theorie der Überlagerung (Topologie)|Überlagerungen untersucht und wird dort für viele Resultate benötigt, einschließlich der Existenz einer Überlagerung (Topologie)|universellen Überlagerung und der Galoisverbindung zwischen Überlagerungsräumen und den Untergruppe|Untergruppen der Fundamentalgruppe.

Die meisten “schönen” Räume wie Mannigfaltigkeit|Mannigfaltigkeiten und Zellkomplex|Zellkomplexe sind semilokal einfach zusammenhängend. Räume die diese Bedingung nicht erfüllen werden als Pathologisches Beispiel|pathologisch angesehen. Das standard Beispiel für einen solchen Raum ist der Hawaiischer Ohrring|Hawaiische Ohrring.

== Definition ==
Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt (Geometrie)|Punkt in X eine Nachbarschaft (Topologie)|Umgebung U hat, die der Eigenschaft genügt, dass jede Schleife in U stetig zu einem Punkt verformt werden kann (d.h. jede Schleife in U ist nullhomotop in X). Die Umgebung U selbst muss nicht zwingend einfach zusammenhängend sein. Denn es wird erlaubt, dass die Homotopie, welche die stetige Verformung der Schleife zu einem Punkt vornimmt, Zeitweise auch außerhalb von U verlaufen darf. Deshalb gibt es Räume die zwar semilokal einfachzusammenhängend, aber nicht lokal einfach zusammenhängend sind.

Äquivalent dazu ist, dass der Raum X zu jedem Punkt eine Umgebung besitzt, sodass der durch die Inklusionsabbildung induzierte Gruppenhomomorphismus|Homomorphismus zwischen der Fundamentalgruppe von U und der Fundamentalgruppe von X trivial ist. Trivial ist ein solcher Homomorphismus zwischen Gruppen, genau dann wenn er jedes Element der Fundamentalgruppe von U auf die Nullhomotopieklasse von X schickt.

Die Meisten Hauptsätze der Überlagerung (Topologie)|Überlagerungstheorie, einschließlich dem Satz über die Existenz einer universellen Überlagerung und der Galoisverbindung, benötigen einen Raum der wegzusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend ist, eine Eigenschaft die '''entschnürbar''' genannt wird (''délaçable'' auf Französisch).
== Beispiele ==
Ein einfaches Beispiel eines Raumes, der nicht semilokal einfach zusammenhängend ist, ist der Hawaiischer Ohrring. Dieser ist die Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung aller Kreis|Kreise der Euklidische Ebene|euklidischen Ebene mit Zentrum (1/n,0) und Radius 1/n, für jede natürliche Zahl n. Betrachtet man diesen Raum mit die Teilraumtopologie bezüglich der euklidischen Ebene, dann enthalten alle Umgebungen des Ursprungs Kreise die nicht nullhomotop sind.

Der Hawaiischer Ohrring kann auch benutzt werden um einen Raum zu konstruieren der nicht lokal einfach zusammenhängend ist. Dazu betrachtet man den Kegel (Topologie)|Kegel des Hawaiischen Ohrrings. Dieser ist kontrahierbar und somit semilokal einfach zusammenhängend, aber genauso wie der Hawaiische Ohrring nicht lokal einfach zusammenhängend.

* * J.S. Calcut, J.D. McCarthy ''Discreteness and homogeneity of the topological fundamental group'' Topology Proceedings, Vol. 34,(2009), pp. 339–349
* Kategorie:Algebraische Topologie