Klassifizierender Raum von SO(n) ⇐ Artikelentwürfe

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Der '''Klassifizierender Raum|klassifizierende Raum''' \operatorname{BSO}(n) '''der Spezielle orthogonale Gruppe|speziellen orthogonalen Lie-Gruppe''' \operatorname{SO}(n) ist der Basisraum des Universelles Hauptfaserbündel|universellen \operatorname{SO}(n)-Hauptfaserbündel|Hauptfaserbündels \operatorname{ESO}(n)\rightarrow\operatorname{BSO}(n). Das bedeutet, dass \operatorname{SO}(n)-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklasse|Homotopieklassen von dessen Stetige Funktion|stetigen Abbildungen in \operatorname{BSO}(n) stehen. Die Bijektion ist durch das Zurückgezogenes Faserbündel|zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

== Definition ==
Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Graßmann-Mannigfaltigkeit|Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)\hookrightarrow\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^{k+1}),
V\mapsto V\times\{0\}. Deren direkter Limes ist:Milnor & Stasheff 74, Sektion 12.2 The Oriented Universal Bundle auf Seite 151

: \operatorname{BSO}(n)
:=\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k).

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als Homogener Raum|homogene Räume ausdrücken lassen durch:

: \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)
=\operatorname{SO}(n+k)/(\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{SO}(k))

überträgt sich die Gruppenstruktur auf \operatorname{BSO}(n).

== Kleinster klassifizierender Raum ==

* Es ist \operatorname{SO}(1)
\cong 1 die triviale Gruppe und daher \operatorname{BSO}(1)
\cong\{*\} der triviale topologische Raum.

* Es ist \operatorname{SO}(2)
\cong\operatorname{U}(1) und daher \operatorname{BSO}(2)
\cong\operatorname{BU}(1)
\cong\mathbb{C}P^\infty der Unendlicher komplexer projektiver Raum|unendliche komplexe projektive Raum.

== Klassifikation von Hauptfaserbündeln ==
Für einen Topologischer Raum|topologischen Raum X sei \operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X) die Menge der \operatorname{SO}(n)-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist X ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

: [X,\operatorname{BSO}(n)]\rightarrow\operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X),
[f]\mapsto f^*\operatorname{ESO}(n)

bijektiv.
== Kohomologiering ==
Der Kohomologiering von \operatorname{BSO}(n) mit Koeffizienten in \mathbb{Z}_2 wird von den Stiefel-Whitney-Klassen|Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:Milnor & Stasheff, Theorem 12.4.Hatcher 02, Example 4D.6.

: H^*(\operatorname{BSO}(n);\mathbb{Z}_2)
=\mathbb{Z}_2[w_2,\ldots,w_n].

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper (Algebra)|Körper mit Charakteristik (Algebra)|Charakteristik \operatorname{char}=2.

Der Kohomologiering von \operatorname{BSO}(n) mit Koeffizienten im Körper \mathbb{Q} der Rationale Zahl|rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

: H^*(\operatorname{BSO}(2n);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n,e]/(p_n-e^2),
: H^*(\operatorname{BSO}(2n+1);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n].

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik \operatorname{char}\neq 2.

== Unendlicher klassifizierender Raum ==
Die kanonische Inklusionen \operatorname{SO}(n)\hookrightarrow\operatorname{SO}(n+1) induzieren kanonische Inklusionen \operatorname{BSO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BSO}(n+1)auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die Direkter Limes|direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

: \operatorname{SO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{SO}(n)
: \operatorname{BSO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{BSO}(n)

bezeichnet. \operatorname{BSO} ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von \operatorname{SO}.

== Siehe auch ==

* Klassifizierender Raum von O(n)
* Klassifizierender Raum von U(n)
* Klassifizierender Raum von SU(n)

== Literatur ==

* * *

* nlab:classifying+space|classifying space auf nLab (Englische Sprache|englisch)
* nlab:BSO(n)|BSO(n) auf nLab (englisch)



Kategorie:Algebraische Topologie