Erweitertes Phasendiagramm ⇐ Artikelentwürfe

[Anonymous]

In der Magnetresonanztomographie und der Kernspinresonanz ist der erweiterte Phasengraph (EPG) ein mathematischer Rahmen, der verwendet wird, um zu verfolgen, wie sich die Magnetisierung in einem Voxel durch eine Reihe von Hochfrequenzimpulsen (RF) und Gradienten entwickelt. Während traditionelle Bloch-Gleichung|Bloch-Simulationen einzelne Spins im räumlichen Bereich verfolgen, arbeitet EPG im Fourier-Bereich.
== Definition ==
In den Bloch-Gleichungen kann innerhalb eines Voxels jeder Spin entlang der Dimension z durch einen Magnetisierungsvektor [M_x(z), M_y(z), M_z(z)]^T beschrieben werden, wobei jedes Element einen reellen Wert hat.
\begin{align}

&S=\begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}, &\mathbf{m}(z)=\begin{bmatrix} M_+(z) \\ M_-(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}=S \begin{bmatrix} M_x(z) \\ M_y(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}\\

\end{align}

Dabei ist M_- das komplexe Konjugat von M_+. Um eine Drehung des komplexen Magnetisierungsvektors \mathbf{m} aufgrund eines HF-Impulses mit Winkel \alpha und Phase \phi durchzuführen, wenden wir zunächst einen Basiswechsel mit S^{-1} an und wenden dann standardmäßige kartesische Rotationsmatrix|Rotationsmatrizen R_z(\phi), R_x(\alpha),
\begin{align}

&R_z(\phi)=\begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\;\;R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=SR_z(\phi)R_x(\alpha)R_z(-\phi)S^{-1}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=\begin{bmatrix} \cos^2 \frac{\alpha}{2} & e^{2i\phi}\sin^2 \frac{\alpha}{2} & -e^{i\phi}\sin \alpha \\
e^{-2i\phi} \sin^2 \frac{\alpha}{2} & \cos^2 \frac{\alpha}{2} & ie^{-i\phi} \sin \alpha\\
-\frac{i}{2}e^{-i\phi} \sin \alpha & \frac{i}{2}e^{i\phi} \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&\mathbf{m}^+(z)=T_\phi (\alpha)\mathbf{m}(z)
\end{align}

Dabei bezeichnet \mathbf{m}^+ den Magnetisierungsvektor nach der Drehung. In der EPG-Darstellung führen wir eine Fourier-Zerlegung jedes Elements des komplexen Magnetisierungsvektors durch:

\begin{align}

&M_+(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_+(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; F_+(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_+(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_-(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_-(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; F_-(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_-(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_z(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} Z(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; Z(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_z(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

\end{align}

Wenn F_+(k)=0, F_-(k)=0 und Z(k)=0, wenn k>n oder k