Der Quantenregressionssatz (QRT) ist ein Ergebnis der quantenstatistischen Mechanik und Quantenoptik, das eine Regel zur Berechnung von „Mehrzeitkorrelationsfunktionen“ aus derselben reduzierten Dynamik bereitstellt, die einmalige Erwartungswerte eines offenen Quantensystems beschreibt.
== Aussage ==
Eine gängige Formulierung (die in Texten über offene Systeme und Quantenoptik verwendet wird) ist die folgende. Angenommen, es gibt eine Menge von Systemoperatoren \{B_i\}, so dass die (Markovianische) Hauptgleichung ein „geschlossenes lineares System“ von Differentialgleichungen erster Ordnung für ihre Erwartungswerte impliziert,
\frac{d}{dt}\langle B_i(t)\rangle=\sum_j G_{ij}\,\langle B_j(t)\rangle,
mit einer (zeitunabhängigen) Koeffizientenmatrix G_{ij}. Dann besagt der Quantenregressionssatz, dass die entsprechenden zweizeitigen Korrelationsfunktionen das „gleiche“ Gleichungssystem erfüllen (als Funktion der Zeitdifferenz \tau\ge 0),
\frac{d}{d\tau}\langle B_i(t+\tau)\,B_\ell(t)\rangle
=
\sum_j G_{ij}\,\langle B_j(t+\tau)\,B_\ell(t)\rangle,
für jeden festen Index \ell (und ähnlich für andere Operatorreihenfolgen, mit der entsprechenden Konvention).
Wenn man die reduzierte Dynamik als dynamische Abbildung \Phi_\tau schreibt (z. B. \Phi_\tau=e^{\mathcal{L}\tau} für einen zeithomogenen Generator \mathcal{L}), kann man äquivalent zwei Zeitkorrelationen durch einen Hilfsoperator ausdrücken, der durch dieselbe Abbildung entwickelt wurde:
\langle A(t+\tau)\,B(t)\rangle
=
\mathrm{Tr}\!\left[A\,\Phi_\tau\!\bigl(B\,\rho(t)\bigr)\right],
\qquad \tau\ge 0,
(wobei das Produkt B\,\rho(t) durch \rho(t)\,B ersetzt wird, wenn die gewählte Konvention dies erfordert). Mehrzeitkorrelationen höherer Ordnung folgen durch wiederholte Anwendung von \Phi zwischen aufeinanderfolgenden Operatoreinfügungen.
== Verwendung und Einschränkungen ==
Der QRT wird häufig zur Berechnung von Spektren und Rauscheigenschaften (z. B. Fluoreszenz- und Resonanzfluoreszenzspektren) in offenen Markovian-Systemmodellen verwendet. Seine Gültigkeit hängt üblicherweise von den Näherungen ab, die zur Ableitung einer Markovian-Hauptgleichung verwendet werden (z. B. vernachlässigbare Gedächtniseffekte und geeignete anfängliche System-Umwelt-Faktorisierung). Wenn diese Annahmen fehlschlagen, insbesondere bei stark nicht-markovianischer Dynamik, kann die QRT ungenau werden und Änderungen erforderlich machen.
[h4] Der Quantenregressionssatz (QRT) ist ein Ergebnis der quantenstatistischen Mechanik und Quantenoptik, das eine Regel zur Berechnung von „Mehrzeitkorrelationsfunktionen“ aus derselben reduzierten Dynamik bereitstellt, die einmalige Erwartungswerte eines offenen Quantensystems beschreibt. == Aussage == Eine gängige Formulierung (die in Texten über offene Systeme und Quantenoptik verwendet wird) ist die folgende. Angenommen, es gibt eine Menge von Systemoperatoren \{B_i\}, so dass die (Markovianische) Hauptgleichung ein „geschlossenes lineares System“ von Differentialgleichungen erster Ordnung für ihre Erwartungswerte impliziert, \frac{d}{dt}\langle B_i(t)\rangle=\sum_j G_{ij}\,\langle B_j(t)\rangle, mit einer (zeitunabhängigen) Koeffizientenmatrix G_{ij}. Dann besagt der Quantenregressionssatz, dass die entsprechenden zweizeitigen Korrelationsfunktionen das „gleiche“ Gleichungssystem erfüllen (als Funktion der Zeitdifferenz \tau\ge 0), \frac{d}{d\tau}\langle B_i(t+\tau)\,B_\ell(t)\rangle = \sum_j G_{ij}\,\langle B_j(t+\tau)\,B_\ell(t)\rangle, für jeden festen Index \ell (und ähnlich für andere Operatorreihenfolgen, mit der entsprechenden Konvention).
Wenn man die reduzierte Dynamik als dynamische Abbildung \Phi_\tau schreibt (z. B. \Phi_\tau=e^{\mathcal{L}\tau} für einen zeithomogenen Generator \mathcal{L}), kann man äquivalent zwei Zeitkorrelationen durch einen Hilfsoperator ausdrücken, der durch dieselbe Abbildung entwickelt wurde: \langle A(t+\tau)\,B(t)\rangle = \mathrm{Tr}\!\left[A\,\Phi_\tau\!\bigl(B\,\rho(t)\bigr)\right], \qquad \tau\ge 0, (wobei das Produkt B\,\rho(t) durch \rho(t)\,B ersetzt wird, wenn die gewählte Konvention dies erfordert). Mehrzeitkorrelationen höherer Ordnung folgen durch wiederholte Anwendung von \Phi zwischen aufeinanderfolgenden Operatoreinfügungen.
== Verwendung und Einschränkungen == Der QRT wird häufig zur Berechnung von Spektren und Rauscheigenschaften (z. B. Fluoreszenz- und Resonanzfluoreszenzspektren) in offenen Markovian-Systemmodellen verwendet. Seine Gültigkeit hängt üblicherweise von den Näherungen ab, die zur Ableitung einer Markovian-Hauptgleichung verwendet werden (z. B. vernachlässigbare Gedächtniseffekte und geeignete anfängliche System-Umwelt-Faktorisierung). Wenn diese Annahmen fehlschlagen, insbesondere bei [url=viewtopic.php?t=20653]stark[/url] nicht-markovianischer Dynamik, kann die QRT ungenau werden und Änderungen erforderlich machen.
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