Gut verketteter Raum ⇐ Artikelentwürfe

[Anonymous]

In der Mathematik ist ein „gut verketteter Raum“ ein metrischer Raum, in dem zwei beliebige Punkte durch eine Kette von Punkten verbunden werden können, die beliebig nahe beieinander liegen. Es ist eng mit dem Begriff der Verbundenheit (verbundener Raum) verbunden.

== Formale Definition ==

Ein metrischer Raum (X, d) heißt gut verkettet, wenn für jedes x, y \in = y und für jedes j \in \{1, \dotsc, n - 1\} hat man

d (z_{j - 1}, z_j) < \varepsilon
.
Eine Menge A \subseteq X ist gut verkettet, wenn sie als metrischer Raum mit der auf A beschränkten Distanz d gut verkettet ist
== Eigenschaften ==

Eine Menge A \subseteq X ist genau dann gut verkettet, wenn ihr topologischer Abschluss (Abschluss (Topologie)) gut verkettet ist.

Wenn X gut verkettet und f \colon X \to Y gleichmäßig stetig ist, dann ist die Menge f (X) gut verkettet.

== Charakterisierungen ==

Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
# das Leerzeichen X ist gut verkettet;
# wenn A \subseteq X und \emptyset \ne A \ne # wenn f \colon X \to \{0, 1\} gleichmäßig stetig ist, dann ist f konstant.

== Link mit Verbundenheit ==

Jede gut verkettete Menge X ist raumzusammenhängend
Die Umkehrung schlägt im Allgemeinen fehl:
* Die Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} ist gut verkettet, aber nicht zusammenhängend * die Menge
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 y^2 = xy\}
ist gut verkettet, aber nicht verbunden
Es gibt Situationen, in denen gute Verkettung Verbundenheit impliziert:
* Jedes kompakte und gut verkettete Set ist mit verbunden * Wenn A \subseteq \mathbb{R} geschlossen und gut verkettet ist, dann ist A verbunden.

Metrische Geometrie