Hamiltonsches Vektorfeld ⇐ Artikelentwürfe

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Ein '''Hamiltonsches Vektorfeld''' ist im Mathematik|mathematischen Teilgebiet der Symplektische Geometrie|symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) ein spezielles Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld auf einer Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit, welches mit dessen Symplektische Form|symplektischer Form kompatibel ist und von einer glatten Abbildung (genannt Hamilton-Funktion) auf dieser erzeugt wird.

== Definition ==
Für eine symplektische Mannigfaltigkeit (M,\omega) ist ein Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld X\in\mathfrak{X}(M), für welches eine glatte Abbildung H\in C^\infty(M) mit i_X\omega=\omega(X,-)=\mathrm dH existiert, ein Hamiltonsches Vektorfeld.Brylinski 2007, 2.3.2. Definition

Aufgrund der Nichtdegeneriertheit der symplektischen Form \omega folgt für glatte Vektorfelder X,Y\in\mathfrak{X}(M) mit \omega(X,-)=\omega(Y,-), dass sogar X=Y. Für eine Hamilton-Funktion H\in C^\infty(M) gibt es daher maximal ein zugehöriges Hamiltonsches Vektorfeld X\in\mathfrak{X}(M), welches sofern existent daher auch als X_H notiert wird. Tatsächlich ist Existenz gegeben, wie sich anhand einer expliziten Ausdrucks zeigen lässt: Für jeden Punkt x\in M gibt es eine lineare Abbildung \varphi_x\colon T_xM\rightarrow T_x^*M,\xi\mapsto\omega_x(\xi,-). Aufgrund der der Nichtdegeneriertheit der symplektischen Form \omega_x ist diese Injektive Funktion|injektiv, aufgrund gleicher Dimension (Mathematik)|Dimensionen von Tangentialraum|Tangential- und Kotangentialraum sogar Bijektive Funktion|bijektiv und aufgrund der glatten Abhängigkeit der symplektischen Form \omega_x vom Basispunkt x ergeben diese gemeinsam einen Vektorbündelhomomorphismus|Vektorbündelisomorphismus \varphi\colon TM\rightarrow T^*M,(x,\xi)\mapsto(x,\omega_x(\xi,-)). Das Hamiltonsche Vektorfeld X_H\in\mathfrak{X}(M) einer Hamilton-Funktion H\in C^\infty(M) lässt sich daher darstellen als:

: X_H=\varphi^{-1}\circ\mathrm dH\colon M\rightarrow TM.

== Eigenschaften ==

* Hamiltonsche Vektorfelder sind Symplektisches Vektorfeld|symplektisch. Für eine Hamilton-Funktion H\in C^\infty(M) folgt mit der Cartan-Formel und der Geschlossenheit \mathrm d\omega=0 der symplektischen Form \omega:
*: \mathcal{L}_{X_H}\omega
=(\mathrm{d}i_{X_H}+i_{X_H}\mathrm d)\omega
=\mathrm{d}i_{X_H}\omega=\mathrm{d}^2H=0.
* Linearkombinationen von Hamiltonschen Vektorfeldern sind Hamiltonsche Vektorfelder. Für Skalare a,b\in\mathbb{R} und glatte Funktionen G,H\in C^\infty(M) gilt mit der Linearität des Cartan-Differntials \mathrm{d} und der Bilinearität der symplektischen Form \omega:
*: \omega(X_{aG+bH},-)
=\mathrm{d}(aG+bH)
=a\mathrm{d}G+b\mathrm{d}H
=a\omega(X_G,-)
+b\omega(X_H,-)
=\omega(aX_G+bX_H,-),

: woraus X_{aG+bH}=aX_G+bX_H aufgrund der Nichtdegeneriertheit der symplektischen Form \omega folgt.

* Für glatte Funktionen G,H\in C^\infty(M) gilt mit der Produkt-Regel des Cartan-Differentials:
*: \omega(X_{GH},-)
=\mathrm d(GH)
=H\mathrm dG
+G\mathrm dH
+G\omega(X_H,-)
=H\omega(X_G,-)
=\omega(HX_G+GX_H,-),

: woraus X_{GH}=HX_G+GX_H aufgrund der Nichtdegeneriertheit der symplektischen Form \omega folgt.

* Für einen Symplektomorphismus \phi\in\operatorname{Symp}(M) und eine glatte Funktion H\in C^\infty(M) gilt:McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.6 (iii)
*: X_{H\circ\phi}
=\phi^*X_H.
* Lie-Klammern von Hamiltonschen Vektorfeldern sind Hamiltonsche Vektorfelder. Für glatte Funktionen G,H\in C^\infty(M) gilt:McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.6 (iii)
*: [X_G,X_H]
=X_{\{G,H\.

== Lie-Algebra der Hamiltonschen Vektorfelder ==
Gemäß der Lemmata bilden die Hamiltonschen Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,\omega) einen Vektorraum und mit der Lie-Klammer [-,-] sogar eine Lie-Algebra, notiert als \mathfrak{Ham}(M,\omega). Es gibt Lie-Algebrenhomomorphismen:McDuff & Salamon 1998, Seite 87

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega),X\mapsto X
: C^\infty(M)\twoheadrightarrow\mathfrak{Ham}(M,\omega),H\mapsto X_H

== Verbindung mit der De-Rham-Kohomologie ==

=== Verbindung mit der nullten De-Rham-Kohomologie ===
Ein spezieller Untervektorraum des Vektorraumes C^\infty(M) der Hamilton-Funktionen ist die nullte De-Rham-Kohomologie|De Rham-Kohomologie H_\mathrm{dR}^0(M):=\ker(\mathrm{d}\colon C^\infty(M)\rightarrow\Omega^1(M)) der Lokal konstante Funktion|lokal konstanten (auf jeder Zusammenhängender Raum#Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente konstanten) Hamilton-Funktionen. Da in der Definition des Hamiltonschen Vektorfeldes einer Hamilton-Funktion nur dessen Cartan-Differential auftaucht, können gerade die lokal konstanten Hamilton-Funktionen beliebig zu dieser hinzuaddiert werden, ohne einen Einfluss auf das erzeugte Hamiltonsche Vektorfeld zu haben. Daher gibt es eine exakte Sequenz:Brylinski 2007, 2.3.8 Remark

: H_\mathrm{dR}^0(M)\hookrightarrow C^\infty(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{Ham}(M,\omega).

Aus dieser folgt direkt, dass genau dann jedes Hamiltonsche Vektorfeld von einer eindeutigen Hamilton-Funktion erzeugt wird, wenn die nullte De Rham-Kohomologie der symplektischen Mannigfaltigkeit trivial ist.

=== Verbindung mit der ersten De-Rham-Kohomologie ===
Per Definition ist für ein symplektisches Vektorfeld X die 1-Form i_X\omega geschlossen und erzeugt daher ein Element [i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) der ersten De-Rham-Kohomologie|De Rham-Kohomologie. Aufgrund der Bilinearität der symplektischen Form \omega ist diese Zuordnung eine lineare Abbildung:

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega.

[i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) ist dabei genau dann das neutrale Element, wenn es sich von diesem um eine exakte 1-Form unterscheidet, also wenn X ein Hamiltonsches Vektorfeld ist. Daher gibt es eine exakte Sequenz:Brylinski 2007, 2.3.3 Proposition

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M).

Aus dieser folgt direkt, dass genau dann jedes symplektische Vektorfeld sogar ein Hamiltonsches Vektorfeld ist, wenn die erste De Rham-Kohomologie der symplektischen Mannigfaltigkeit trivial ist.

== Anwendung in der Physik ==
Hamiltonsche Vektorfelder sind entscheidend für die Formulierung der Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Mechanik, denn ihre Fluss eines Vektorfeldes|Flüsse verlaufen entlang konstanter Werte der zugrundeliegenden Hamilton-Funktion. Das beschreibt die Energieerhaltungssatz|Energieerhaltung einer mechanischen Bewegung im Phasenraum. Für einen Punkt x\in M, eine Hamilton-Funktion H\in C^\infty(M) ist ihr (lokaler) Fluss \phi_H(x,-)\colon I\rightarrow M mit einem offenen Intervall I\subseteq\mathbb R mit 0\in I eine Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswertbedingung:

: \left\{\begin{align}
\phi_H(x,0)&=x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)&=X_H(\phi_H(x,t))
\end{align}\right..

Mit der Definition des Hamiltonschen Vektorfeldes und der Antisymmetrie der symplektischen Form folgt:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}H(\phi_H(x,t))
=\mathrm dH(\phi_H(x,t))\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)\right)
=\omega(X_H(\phi_H(x,t)),-)\left(X_H(\phi_H(x,t))\right)
=\omega(X_H,X_H)(\phi_H(x,t))
=0,

womit H(\phi_H(x,t))
konstant ist. Allgemeiner kann diese Rechnung für zwei verschiedene Hamilton-Funktionen G,H\in C^\infty(M) betrachtet werden, wobei sich mit der Poisson-Klammer \{G,H\}=\omega(X_G,X_H) analog ergibt:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\phi_H(x,t))
=\omega(X_G,X_H)(\phi_H(x,t))
=\{G,H\}(\phi_H(x,t)),

also G(\phi_H(x,t))
genau dann konstant ist, wenn \{G,H\}=0. Das sind jeweils die Liouville-Gleichung für die Zeitentwicklung und das Noether-Theorem über die Korrespondenz von Erhaltungsgrößen und Symmetrie.

== Weblinks ==

* nlab:Hamiltonian+vector+field|Hamiltonian vector field auf nLab (Englische Sprache|englisch)

== Literatur ==

* *
== Einzelnachweise ==


Kategorie:Symplektische Topologie