Ein '''symplektisches Vektorfeld''' ist im Mathematik|mathematischen Teilgebiet der Symplektische Geometrie|symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) ein spezielles Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld auf einer Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit, welches mit dessen Symplektische Form|symplektischer Form kompatibel ist.
== Definition ==
Für eine symplektische Mannigfaltigkeit (M,\omega) ist ein Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld X\in\mathfrak{X}(M) mit \mathcal{L}_X\omega=0 ein symplektisches Vektorfeld. Mit der Cartan-Formel \mathcal{L}_X=\mathrm{d}i_X+i_X\mathrm{d} und der Geschlossene Differentialform|Geschlossenheit \mathrm{d}\omega=0 der symplektischen Form \omega folgt die äquivalente Bedingung der Geschlossenheit \mathrm{d}i_X\omega=\mathrm{d}(\omega(X,-))=0 der Form i_X\omega=\omega(X,-).McDuff & Salamon 1998, Seite 83Brylinski 2007, 2.3.1. Proposition
== Eigenschaften ==
* Linearkombinationen von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für Skalare a,b\in\mathbb{R} und symplektische Vektorfelder X,Y\in\mathfrak{X}(M) gilt mit der Linearität des Cartan-Differntials \mathrm{d} und der Bilinearität der symplektischen Form \omega:
*: \mathrm{d}(\omega(aX+bY,-))
=\mathrm{d}(a\omega(X,-)+b\omega(Y,-))
=a\mathrm{d}(\omega(X,-))+b\mathrm{d}(\omega(Y,-))
=0.
* Lie-Klammern von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für symplektische Vektorfelder X,Y\in\mathfrak{X}(M) ist:
*: \mathcal{L}_{[X,Y]}\omega
=[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\omega
=0.
== Lie-Algebra der symplektischen Vektorfelder ==
Gemäß der Lemmata bilden die symplektischen Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,\omega) einen Vektorraum und mit der Lie-Klammer [-,-] sogar eine Lie-Algebra, notiert als \mathfrak{Symp}(M,\omega). Diese ist für M Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossen die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der symplektischen Diffeomorphismen \operatorname{Symp}(M,\omega).McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.2
== Verbindung mit der De Rham-Kohomologie ==
Per Definition ist für ein symplektisches Vektorfeld X die 1-Form i_X\omega geschlossen und erzeugt daher ein Element [i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) der ersten De-Rham-Kohomologie. Aufgrund der Bilinearität der symplektischen Form \omega ist diese Zuordnung eine lineare Abbildung:
[h4] Ein '''symplektisches Vektorfeld''' ist im Mathematik|mathematischen Teilgebiet der Symplektische Geometrie|symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) ein spezielles Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld auf einer Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit, welches mit dessen Symplektische Form|symplektischer Form kompatibel ist.
== Definition == Für eine symplektische Mannigfaltigkeit (M,\omega) ist ein Vektorfeld#Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten|glattes Vektorfeld X\in\mathfrak{X}(M) mit \mathcal{L}_X\omega=0 ein symplektisches Vektorfeld. Mit der Cartan-Formel \mathcal{L}_X=\mathrm{d}i_X+i_X\mathrm{d} und der Geschlossene Differentialform|Geschlossenheit \mathrm{d}\omega=0 der symplektischen Form \omega folgt die äquivalente Bedingung der Geschlossenheit \mathrm{d}i_X\omega=\mathrm{d}(\omega(X,-))=0 der Form i_X\omega=\omega(X,-).McDuff & Salamon 1998, Seite 83Brylinski 2007, 2.3.1. Proposition
== Eigenschaften ==
* Linearkombinationen von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für Skalare a,b\in\mathbb{R} und symplektische Vektorfelder X,Y\in\mathfrak{X}(M) gilt mit der Linearität des Cartan-Differntials \mathrm{d} und der Bilinearität der symplektischen Form \omega: *: \mathrm{d}(\omega(aX+bY,-)) =\mathrm{d}(a\omega(X,-)+b\omega(Y,-)) =a\mathrm{d}(\omega(X,-))+b\mathrm{d}(\omega(Y,-)) =0. * Lie-Klammern von symplektischen Vektorfeldern sind symplektische Vektorfelder. Für symplektische Vektorfelder X,Y\in\mathfrak{X}(M) ist: *: \mathcal{L}_{[X,Y]}\omega =[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\omega =0.
== Lie-Algebra der symplektischen Vektorfelder == Gemäß der Lemmata bilden die symplektischen Vektorfelder auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit (M,\omega) einen Vektorraum und mit der Lie-Klammer [-,-] sogar eine Lie-Algebra, notiert als \mathfrak{Symp}(M,\omega). Diese ist für M Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossen die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der symplektischen Diffeomorphismen \operatorname{Symp}(M,\omega).McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.2
== Verbindung mit der De Rham-Kohomologie == Per Definition ist für ein symplektisches Vektorfeld X die 1-Form i_X\omega geschlossen und erzeugt daher ein Element [i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) der ersten De-Rham-Kohomologie. Aufgrund der Bilinearität der symplektischen Form \omega ist diese Zuordnung eine lineare Abbildung:
Ein '''Hamiltonsches Vektorfeld''' ist im Mathematik|mathematischen Teilgebiet der Symplektische Geometrie|symplektischen Geometrie (wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie) ein spezielles...
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