Janzen-Rayleigh-Erweiterung ⇐ Artikelentwürfe

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In der Fluiddynamik stellt die „Janzen-Rayleigh-Expansion“ eine reguläre Störungsexpansion dar, bei der die relevante Mach-Zahl als kleiner Expansionsparameter für das Geschwindigkeitsfeld verwendet wird, der leichte Kompressibilitätseffekte aufweist. Die Erweiterung wurde erstmals 1913 von O. Janzen untersuchtO. Janzen, Beitrag zu einer Theorie der stationären Stromung kompressibler Flussigkeiten. Physik. Zeits., 14 (1913) und Lord Rayleigh im Jahr 1916.Rayleigh, L. (1916). I. Über den Fluss einer kompressiblen Flüssigkeit an einem Hindernis vorbei. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 32(187), 1-6.

==Stetiger Potentialfluss==
Betrachten Sie einen stetigen Potentialfluss, der durch das Geschwindigkeitspotential \varphi(\mathbf x) gekennzeichnet ist. Dann erfüllt \varphi

:(c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz }-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx})=0

wobei c=c(v^2) die Schallgeschwindigkeit als Funktion der Geschwindigkeitsgröße ausgedrückt wird v^2=(\nabla \varphi)^2. Für ein polytropes Gas, können wir schreiben

:c^2 = c_0^2 - \frac{\gamma-1}{2}v^2

Dabei ist \gamma das spezifische Wärmeverhältnis, c_0^2 = h_0(\gamma-1)/2 die Stagnationsschallgeschwindigkeit und h_0 ist die Stagnationsenthalpie. Sei U die charakteristische Geschwindigkeitsskala und c_0 der charakteristische Wert der Schallgeschwindigkeit, dann ist die Funktion c(v^2), für kleine Machzahlen M=U/c_0\ll 1, hat die Form

:\frac{c^2}{U^2} = \frac{1}{M^2} - \frac{\gamma-1}{2}\frac{v^2}{U^2 }.

Für kleine Mach-Zahlen können wir die ReiheVon Karman, Th. einführen. „Kompressibilitätseffekte in der Aerodynamik.“ Zeitschrift für Raumfahrzeuge und Raketen 40, Nr. 6 (1941): 992-1011.

:\varphi = U (\varphi_0 + M^2 \varphi_1 + M^4 \varphi_2 + \cdots)

Das Ersetzen dieser maßgeblichen Gleichung und das Sammeln von Termen verschiedener Ordnungen von Ma führt zu einer Reihe von Gleichungen. Das sind

:\begin{align}
\nabla^2\varphi_0 &= 0,\\
\nabla^2\varphi_1 & = \varphi_{0,x}^2\varphi_{0,xx} + \varphi_{0,y}^2\varphi_{0,yy} + \varphi_{0,z}^ 2\varphi_{0,zz} +2(\varphi_{0,x}\varphi_{0,y}\varphi_{0,xy}+\varphi_{0,y}\varphi_{0,z}\varphi_{ 0,yz}+\varphi_{0,z}\varphi_{0,x}\phi_{0,zx}),
\end{align}

und so weiter.

===Imai-Lamla-Methode===
Eine einfache Methode zum Finden des bestimmten Integrals für \varphi_1 in zwei Dimensionen wurde von Isao Imai (Physiker)|Isao Imai und Ernst Lamla|Ernst Lamla entwickelt.IMAI, Isao. „Eine neue Methode sukzessiver Approximationen für den Umgang mit der zweidimensionalen Unterschallströmung einer kompressiblen Flüssigkeit.“ Tagungsband der Physico-Mathematical Society of Japan. 3. Serie 24 (1942): 120-129.Lamla, E. (1942). Über den symmetrischen potentiellen Fluss kompressibler Flüssigkeit an einem kreisförmigen Zylinder im Tunnel in der unterkritischen Zone vorbei (Nr. NACA-TM-1018).Imai, Isao und Takasi Aihara. Über die Unterschallströmung einer komprimierbaren Flüssigkeit an einem elliptischen Zylinder vorbei. Aeronautical Research Institute, Tokyo Imperial University, 1940. In zwei Dimensionen kann das Problem mithilfe komplexer Analyse durch Einführung des komplexen Potentials f(z,\overline z) = \varphi + i\psi< gelöst werden /math> wird formal als Funktion von z=x+iy und seinem Konjugat \overline z = x-iy betrachtet; Hier ist \psi die Stream-Funktion, die so definiert ist, dass

:u =\frac{\rho_\infty}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial y}=\frac{\partial\varphi}{\partial x}, \quad v = -\frac{\rho_\infty}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\partial\varphi}{\partial y}

wobei \rho_\infty ein Referenzwert für die Dichte ist. Die Störungsreihe von f ist gegeben durch

:f(z,\overline z) = U[f_0(z) + M^2 f_1(z,\overline z) + \cdots]

wobei f_0=f_0(z) eine analytische Funktion ist, da \varphi und \psi als Lösungen der Laplace-Gleichung harmonische Funktionen sind. Das Integral für das Problem erster Ordnung führt zur Imai-Lamla-FormelJACOB, C. 1959 Introduction Mathématique a la Mécanique des Fluides. Gauthier-Villars.Barsony-Nagy, A. „Erweiterung des Blasius-Kraftsatzes auf Unterschallgeschwindigkeiten.“ AIAA Journal 23, Nr. 11 (1985): 1811-1812.

:f_1(z,\overline z) = \frac{1}{4} \frac{df_0}{dz}\overline{\int\left(\frac{df_0}{dz}\right)^2dz } + F(z)

wobei F(z) die homogene Lösung (eine analytische Funktion) ist, die zur Erfüllung notwendiger Randbedingungen verwendet werden kann. Die Reihe für das komplexe Geschwindigkeitspotential g = u-iv ist gegeben durch

:g(z,\overline z) = U[g_0(z) + M^2g_1(z,\overline z) +\cdots]

wobei g_0=df_0/dz undCarabineanu, Adrian. „Ein Randintegralgleichungsansatz für die Untersuchung der komprimierbaren Unterschallströmung an einem spitz zulaufenden Tragflächenprofil.“ Nichtlineare Analyse: Theorie, Methoden und Anwendungen 30, Nr. 6 (1997): 3449-3454.

:g_1(z,\overline z) = \frac{1}{4} \frac{d^2f_0}{dz^2}\overline{\int\left(\frac{df_0}{dz}\ rechts)^2dz} + \frac{1}{4}\overline{ \frac{df_0}{dz\left(\frac{df_0}{dz}\right)^2 + \frac{dF}{dz}.

*Fluiddynamik