Die Kármán-Moore-Theorie ist eine linearisierte Theorie für Überschallströmungen über einem schlanken Körper, benannt nach Theodore von Kármán und Norton B. Moore, die die Theorie 1932 entwickelten.Von Karman, T ., & Moore, N. B. (1932). Widerstand schlanker Körper, die sich mit Überschallgeschwindigkeit bewegen, unter besonderer Berücksichtigung von Projektilen. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 54(2), 303-310.Ward, G. N. (1949). Überschallströmung an schlanken, spitzen Körpern vorbei. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97. Die Theorie liefert insbesondere eine explizite Formel für den Wellenwiderstand, der die kinetische Energie des sich bewegenden Körpers in dahinter ausgehende Schallwellen umwandelt der Körper.
==Mathematische Beschreibung==
Stellen Sie sich einen schlanken Körper mit spitzen Kanten vorne und hinten vor. Der Überschallfluss an diesem Körper vorbei wird überall nahezu parallel zur x-Achse verlaufen, da die gebildeten Stoßwellen (eine an der Vorderkante und eine an der Hinterkante) schwach sein werden; Infolgedessen ist die Strömung überall potentiell, was mit dem Geschwindigkeitspotential \phi' = xv_1 + \phi beschrieben werden kann, wobei v_1 die ankommende gleichmäßige Geschwindigkeit ist und \phi charakterisiert die kleine Abweichung von der gleichmäßigen Strömung. In der linearisierten Theorie erfüllt \phi
wobei \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 die Schallgeschwindigkeit in der einströmenden Strömung ist und M_1 ist die Machzahl des eingehenden Flusses. Dies ist nur die zweidimensionale Wellengleichung und \phi ist eine Störung, die sich mit einer scheinbaren Zeit x/v_1 und einer scheinbaren Geschwindigkeit v_1/\beta< ausbreitet /math>.
Der Ursprung (x,y,z)=(0,0,0) liege am vorderen Ende des spitzen Körpers. Weiterhin sei S(x) die Querschnittsfläche (senkrecht zur x-Achse) und l die Länge des Slenders Körper, sodass S(x)=0 für x1 gilt. Natürlich können sich Störungen (d. h. \phi) in Überschallströmungen nur in den Bereich hinter der Mach-Welle (Mach-Kegel) ausbreiten. Der schwache Mach-Kegel für die Vorderkante ist durch x-\beta r=0 gegeben, während der schwache Mach-Kegel für die Hinterkante durch x-\beta r = l< gegeben ist /math>, wobei r^2=y^2+z^2 der quadrierte radiale Abstand von der x-Achse ist.
Die Störung weit entfernt vom Körper gleicht einer Ausbreitung einer Zylinderwelle. Vor dem Kegel x-\beta r=0 ist die Lösung einfach durch \phi=0 gegeben. Zwischen den Kegeln x-\beta r = 0 und x-\beta r = l ist die Lösung gegeben durchLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Strömungsmechanik: Landau und Lifshitz: Kurs der theoretischen Physik, Band 6 (Band 6). Sonst. Abschnitt 123. Seiten 123-124
Die oben beschriebene Lösung ist für alle r exakt, bei denen der schlanke Körper ein Körper oder eine Revolution ist. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die Lösung bei großen Entfernungen gültig und weist eine Korrektur auf, die mit der nichtlinearen Verzerrung des Stoßprofils verbunden ist, deren Stärke proportional zu (M_1-1)^{1/8}r^ ist {-3/4} und ein fcator abhängig von der Formfunktion S(x).Whitham, G. B. (2011). Lineare und nichtlineare Wellen. John Wiley & Söhne. Seiten 335-336.
Die Widerstandskraft (Physik) F ist lediglich die x-Komponente des Impulses pro Zeit. Um dies zu berechnen, betrachten Sie eine zylindrische Oberfläche mit einem großen Radius und einer Achse entlang der x-Achse. Die Impulsflussdichte, die diese Oberfläche durchquert, ist einfach gegeben durch \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\Approx \partial x). Die Integration von \Pi_{xr} über die Zylinderfläche ergibt die Widerstandskraft. Aus Symmetriegründen ergibt der erste Term in \Pi_{xr bei der Integration Null, da der Nettomassenfluss \rho v_r auf der betrachteten Zylinderfläche Null ist. Der zweite Term gibt den Beitrag ungleich Null an,
Bei großen Entfernungen sind die Werte x-\xi \sim \beta r (der Wellenbereich) die wichtigsten in der Lösung für \phi; Dies liegt daran, dass \phi, wie bereits erwähnt, eine ähnliche Störung ist, die sich mit einer Geschwindigkeit v_1/\beta und einer scheinbaren Zeit x/v_1 ausbreitet . Das bedeutet, dass wir den Ausdruck im Nenner als (x-\xi)^2-\beta^2r^2\ approx 2\beta r (x-\xi-\beta r) annähern können. Dann können wir zum Beispiel schreiben:
Aus diesem Ausdruck können wir \partial\phi/\partial r berechnen, was auch gleich -\beta\partial\phi/\partial x ist, da wir uns in befinden die Wellenregion. Der vor dem Integral erscheinende Faktor 1/\sqrt r muss nicht differenziert werden, da dies zu der kleinen Korrektur proportional zu 1/r führt. Indem wir die Differenzierung durchführen und auf die ursprünglichen Variablen zurückgreifen, finden wir
Dies lässt sich vereinfachen, indem man die Integration über X durchführt. Wenn die Integrationsreihenfolge geändert wird, reicht der Grenzwert für X von \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) bis L\to\infty< /math>. Nach der Integration haben wir
Das Integral, das den Term L enthält, ist Null, weil S'(0)=S'(l)=0 (natürlich zusätzlich zu S(0) =S(l)=0).
Die endgültige Formel für die Wellenwiderstandskraft kann als
geschrieben werden
:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln(\ xi_2-\xi_1)d\xi_1d\xi_2,
Da F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 aus der Formel folgt, die durch C_d \sim S^2/l^4 gegeben ist, was darauf hinweist dass der Luftwiderstandsbeiwert proportional zum Quadrat der Querschnittsfläche und umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Körperlänge ist.
Die Form mit dem kleinsten Wellenwiderstand für ein gegebenes Volumen V und eine Länge l kann aus der Formel für die Wellenwiderstandskraft ermittelt werden. Diese Form ist als Sears-Haack-Körper bekannt.Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten Wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.Sears, W. R. (1947). Auf Projektilen mit minimalem Wellenwiderstand. Quarterly of Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
[h4] Die Kármán-Moore-Theorie ist eine linearisierte Theorie für Überschallströmungen über einem schlanken Körper, benannt nach Theodore von Kármán und Norton B. Moore, die die Theorie 1932 entwickelten.Von Karman, T ., & Moore, N. B. (1932). Widerstand schlanker Körper, die sich mit Überschallgeschwindigkeit bewegen, unter besonderer Berücksichtigung von Projektilen. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 54(2), 303-310.Ward, G. N. (1949). Überschallströmung an schlanken, spitzen Körpern vorbei. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2(1), 75-97. Die Theorie liefert insbesondere eine explizite Formel für den Wellenwiderstand, der die kinetische Energie des sich bewegenden Körpers in dahinter ausgehende Schallwellen umwandelt der Körper. ==Mathematische Beschreibung== Stellen Sie sich einen schlanken Körper mit spitzen Kanten vorne und hinten vor. Der Überschallfluss an diesem Körper vorbei wird überall nahezu parallel zur x-Achse verlaufen, da die gebildeten Stoßwellen (eine an der Vorderkante und eine an der Hinterkante) schwach sein werden; Infolgedessen ist die Strömung überall potentiell, was mit dem Geschwindigkeitspotential \phi' = xv_1 + \phi beschrieben werden kann, wobei v_1 die ankommende gleichmäßige Geschwindigkeit ist und \phi charakterisiert die kleine Abweichung von der gleichmäßigen Strömung. In der linearisierten Theorie erfüllt \phi
wobei \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 die Schallgeschwindigkeit in der einströmenden Strömung ist und M_1 ist die Machzahl des eingehenden Flusses. Dies ist nur die zweidimensionale Wellengleichung und \phi ist eine Störung, die sich mit einer scheinbaren Zeit x/v_1 und einer scheinbaren Geschwindigkeit v_1/\beta< ausbreitet /math>.
Der Ursprung (x,y,z)=(0,0,0) liege am vorderen Ende des spitzen Körpers. Weiterhin sei S(x) die Querschnittsfläche (senkrecht zur x-Achse) und l die Länge des Slenders Körper, sodass S(x)=0 für x1 gilt. Natürlich können sich Störungen (d. h. \phi) in Überschallströmungen nur in den Bereich hinter der Mach-Welle (Mach-Kegel) ausbreiten. Der schwache Mach-Kegel für die Vorderkante ist durch x-\beta r=0 gegeben, während der schwache Mach-Kegel für die Hinterkante durch x-\beta r = l< gegeben ist /math>, wobei r^2=y^2+z^2 der quadrierte radiale Abstand von der x-Achse ist.
Die Störung weit entfernt vom Körper gleicht einer Ausbreitung einer Zylinderwelle. Vor dem Kegel x-\beta r=0 ist die Lösung einfach durch \phi=0 gegeben. Zwischen den Kegeln x-\beta r = 0 und x-\beta r = l ist die Lösung gegeben durchLandau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Strömungsmechanik: Landau und Lifshitz: Kurs der theoretischen Physik, Band 6 (Band 6). Sonst. Abschnitt 123. Seiten 123-124
Die oben beschriebene Lösung ist für alle r exakt, bei denen der schlanke Körper ein Körper oder eine Revolution ist. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die Lösung bei großen Entfernungen gültig und weist eine Korrektur auf, die mit der nichtlinearen Verzerrung des Stoßprofils verbunden ist, deren Stärke proportional zu (M_1-1)^{1/8}r^ ist {-3/4} und ein fcator abhängig von der Formfunktion S(x).Whitham, G. B. (2011). Lineare und nichtlineare Wellen. John Wiley & Söhne. Seiten 335-336.
Die Widerstandskraft (Physik) F ist lediglich die x-Komponente des Impulses pro Zeit. Um dies zu berechnen, betrachten Sie eine zylindrische Oberfläche mit einem großen Radius und einer Achse entlang der x-Achse. Die Impulsflussdichte, die diese Oberfläche durchquert, ist einfach gegeben durch \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\Approx \partial x). Die Integration von \Pi_{xr} über die Zylinderfläche ergibt die Widerstandskraft. Aus Symmetriegründen ergibt der erste Term in \Pi_{xr bei der Integration Null, da der Nettomassenfluss \rho v_r auf der betrachteten Zylinderfläche Null ist. Der zweite Term gibt den Beitrag ungleich Null an,
Bei großen Entfernungen sind die Werte x-\xi \sim \beta r (der Wellenbereich) die wichtigsten in der Lösung für \phi; Dies liegt daran, dass \phi, wie bereits erwähnt, eine ähnliche Störung ist, die sich mit einer Geschwindigkeit v_1/\beta und einer scheinbaren Zeit x/v_1 ausbreitet . Das bedeutet, dass wir den Ausdruck im Nenner als (x-\xi)^2-\beta^2r^2\ approx 2\beta r (x-\xi-\beta r) annähern können. Dann können wir zum Beispiel schreiben:
Aus diesem Ausdruck können wir \partial\phi/\partial r berechnen, was auch gleich -\beta\partial\phi/\partial x ist, da wir uns in befinden die Wellenregion. Der vor dem Integral erscheinende Faktor 1/\sqrt r muss nicht differenziert werden, da dies zu der kleinen Korrektur proportional zu 1/r führt. Indem wir die Differenzierung durchführen und auf die ursprünglichen Variablen zurückgreifen, finden wir
Dies lässt sich vereinfachen, indem man die Integration über X durchführt. Wenn die Integrationsreihenfolge geändert wird, reicht der Grenzwert für X von \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) bis L\to\infty< /math>. Nach der Integration haben wir
Das Integral, das den Term L enthält, ist Null, weil S'(0)=S'(l)=0 (natürlich zusätzlich zu S(0) =S(l)=0).
Die endgültige Formel für die Wellenwiderstandskraft kann als geschrieben werden :F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln(\ xi_2-\xi_1)d\xi_1d\xi_2,
Da F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 aus der Formel folgt, die durch C_d \sim S^2/l^4 gegeben ist, was darauf hinweist dass der Luftwiderstandsbeiwert proportional zum Quadrat der Querschnittsfläche und umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Körperlänge ist.
Die Form mit dem kleinsten Wellenwiderstand für ein gegebenes Volumen V und eine Länge l kann aus der Formel für die Wellenwiderstandskraft ermittelt werden. Diese Form ist als Sears-Haack-Körper bekannt.Haack, W. (1941). Geschossformen kleinsten Wellenwiderstandes. Bericht der Lilienthal-Gesellschaft, 136(1), 14-28.Sears, W. R. (1947). Auf Projektilen mit minimalem Wellenwiderstand. Quarterly of Applied Mathematics, 4(4), 361-366.
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1810 veröffentlichte Moore in...
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