Dirac–Kähler-Gleichung ⇐ Artikelentwürfe

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Die '''Dirac–Kähler-Gleichung''' (auch '''Ivanenko–Landau–Kähler-Gleichung''') ist eine geometrische Formulierung der Dirac-Gleichung auf Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten mithilfe des Verallgemeinerter Laplace-Operator#Hodge-Laplace-Operator|Laplace–de Rham-Operators. Die Gleichung wurde von Dmitri Ivanenko und Lew Dawidowitsch Landau|Lew Landau im Jahr 1928 entdeckt
== Konstruktion ==
Sei M eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Das Äußere Ableitung|Differential \mathrm{d}\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k+1}(M) erhöht den Grad einer Differentialform und das adjungierte Differential \delta\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M) verringert den Grad einer Differentialform. Der Verallgemeinerter Laplace-Operator#Hodge-Laplace-Operator|Laplace–de-Rham-Operator:

: \Delta
=\mathrm{d}\delta
+\delta\mathrm{d}\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)

erhält daher den Grad einer Differentialform. Mit den Komplexitätsbedingungen \mathrm{d}^2
=\delta^2
=0 ergeben sich die Zusammenhänge (\mathrm{d}\pm\delta)^2
=\pm\Delta, wodurch Dirac-Operator|Dirac-Operatoren ähnlich wie bei der Konstruktion der Dirac-Gleichung existieren, sodass deren Quadrat der Laplace–de-Rham-Operator ist. Diese können jedoch nicht mehr auf den Vektorräumen von Differentialformen eines einzigen Grades definiert werden kann, daher ist der Übergang auf die direkte Summe:

: \Omega(M)
=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)

notwendig. Einer dieser Dirac-Operatoren ist der ''Dirac–Kähler-Operator'':

: \mathrm{d}-\delta\colon
\Omega(M)\rightarrow\Omega(M).

Für ein Skalar m\in\mathbb{R} und eine Differentialform \omega\in\Omega^k(M) ist die ''Dirac–Kähler-Gleichung'' gegeben durch:
: (\mathrm{d}-\delta+m)\omega=0.

Diese besteht aus n+3 miteinander gekoppelten Differentialgleichungen für n+1 Differentialformen. Für \omega
=\sum_{k=0}^n\omega_k mit \omega_k\in\Omega^k(M)sind diese gegeben durch:

: \mathrm{d}\omega_{k-1}
-\delta\omega_{k+1}
+m\omega_k=0

für k=-1,0,\ldots,n,n+1. Für die Randfälle k=-1 und k=n+1 ergeben sich dabei jeweils \mathrm{d}\omega_n=0 und \delta\omega_0=0, was sowieso aus Gradgründen gelten muss, da es keine -1- und n+1-Formen auf M gibt. Dadurch gibt es tatsächlich nur n+1 miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für n+1 Differentialformen. Für k=0 und k=n ergibt sich:

: -\delta\omega_1
+m\omega_0=0
: \mathrm{d}\omega_{n-1}
+m\omega_n=0.

Durch Anwendung von \mathrm{d}-\delta-m auf die Dirac–Kähler-Gleichung wird diese zur Klein–Gordon-Gleichung (\Delta+m^2)\omega=0, bei welcher die einzelnen Differentialgleichungen entkoppeln und daher jede einzelne Differentialform \omega_k mit (\Delta^2+m^2)\omega_k=0die Klein–Gordon-Gleichung erfüllt. Würde für die Dirac–Kähler-Gleichung stattdessen der Operator \mathrm{d}+\delta verwendet werden, würden diese stattdessen (\Delta-m^2)\omega=0 erfüllen.

* nlab:Kähler-Dirac+operator|Kähler–Dirac-Operator auf nLab (Englische Sprache|englisch)



Kategorie:Quantenfeldtheorie