In der mathematischen Analyse ist das '' '' '' Dyadic Derivat '' ein Konzept, das den Begriff der klassischen Differenzierung der dyadischen Gruppe oder des dyadischen Feldes auf Funktionen erweitert. Im Gegensatz zur klassischen Differenzierung, die auf der Grenze (Mathematik) basiert, wird die dyadische Differenzierung mithilfe dyadischer (binärer) Addition definiert und spiegelt die diskontinuierliche Natur der Walsh -Funktionen wider.
== Definition ==
=== punktweise dyadisches Derivat ===
Für eine Funktion f definiert auf [0,1) wird das erste '' punktweise dyadische Abgang '' von f an einem Punkt x definiert als:
: f^{[1]} (x) = \ lim_ {m \ to \ infy} \ sum_ {j = 0}^{m-1} 2^{j-1} [f (x)-f (x \ oper 2^{-j-1})] < /math>
Wenn diese Grenze vorliegt. Hier bezeichnet \ OPLUS die dyadische Additionsoperation, die unter Verwendung der binären Darstellung | dyadische (binäre) Darstellung von Zahlen definiert wird. = \sum_{j=0}^{\infty} x_j 2^{-j-1} and y = \sum_{j=0}^{\infty} y_j 2^{-j-1} with x_j, y_j \in \{0, 1\},
dann
: x \ oplus y = \ sum_ {j = 0}^{\ infty} (x_j \ oplus y_j) 2^{-j-1} < /math>,
wo
: x_j \ oplus y_j = (x_j + y_j) \ pmod 2 . onneweer, C.W. (1979). "Über die Definition der dyadischen Differenzierung". '' Anwendbare Analyse '', 9 (4): 267-278. < /Ref>
Dyadische Dyadic-Derivate höherer Ordnung sind definiert Rekursion (Mathematik) | rekursiv: f^{[r]} (x) = (f^{[r-1]})^{[1]} (x) für r \ in \ mathbb n .
=== starkes dyadisches Derivat ===
Das starke dyadische Derivat ist im Kontext von Funktionsräumen definiert. Sei x (0, 1) eines der Funktionsräume l^p (0, 1) für 1 \ Le P \ le \ Infty (lp_space | '' l '' l^\ Infty (0, 1) (l-infinity | '' l '' '' ∞ '' Raum); oder c^\ oplus [0, 1] (der Raum der dyadisch kontinuierlichen Funktionen). If f \ in x (0, 1) und es gibt g \ in x (0, 1) , so dass
dann wird g als erste starke dyadische Ableitung von f bezeichnet, die mit g = d^{[1]} f . Engels, W. (1985) gekennzeichnet ist. "Über die Charakterisierung des dyadischen Derivats". '' Acta mathematica hungarica '', 46 (1-2): 47-56. == Beispiele ==
3, & x \ in [0,1 /4) \\
-1, & x \ in [1 /4,1)
6, & x \ in [0,1 /4) \\
-4 & x \ in [1/4,1/2) \\
-2, & x \ in [1/2,3/4) \\
0, & x \ in [3 /4,1)
1, & x \ in [0,1) \ cap \ mathbb {q} \\
0, & x \ in [0,1) \ setminus \ mathbb {q}
== history ==
Das dyadische Derivat wurde von Mathematiker James Edmund Gibbs im Kontext von Walsh-Funktionen eingeführt und von Paul Butzer und Heinz-Joseph Wagner weiterentwickelt. "Walsh Funktionen und Differenzierung". '' Proceedings of the Symposium und Workshop zu Anwendungen von Walsh-Funktionen ''. Naval Research Laboratory, Washington, D. C., S. 1-29. "Walsh-Fourier-Serie und das Konzept eines Derivats". '' Anwendbare Analyse '', 3 (1): 29-46. < /Ref>
Weitere Beiträge kamen von C. W. Onneweer, der das Konzept auf fraktionale Differenzierung und p-adic | '' P ''-Adic Fields. "Bruchdifferenzierung auf der Gruppe der Ganzzahlen eines P-Adic- oder P-Series-Feldes". '' Analyse Mathematica ', 3 (2): 119-130.
== Siehe auch ==
* Walsh Funktion
* Dyadische Gruppe
* Haar Wavelet
* Harmonische Analyse
* Walsh Transform
[h4] In der mathematischen Analyse ist das '' '' '' Dyadic Derivat '' ein Konzept, das den Begriff der klassischen Differenzierung der dyadischen Gruppe oder des dyadischen Feldes auf Funktionen erweitert. Im Gegensatz zur klassischen Differenzierung, die auf der Grenze (Mathematik) basiert, wird die dyadische Differenzierung mithilfe dyadischer (binärer) Addition definiert und spiegelt die diskontinuierliche Natur der Walsh -Funktionen wider.
== Definition == === punktweise dyadisches Derivat === Für eine Funktion f definiert auf [0,1) wird das erste '' punktweise dyadische Abgang '' von f an einem Punkt x definiert als: : f^{[1]} (x) = \ lim_ {m \ to \ infy} \ sum_ {j = 0}^{m-1} 2^{j-1} [f (x)-f (x \ oper 2^{-j-1})] < /math>
Wenn diese Grenze vorliegt. Hier bezeichnet \ OPLUS die dyadische Additionsoperation, die unter Verwendung der binären Darstellung | dyadische (binäre) Darstellung von Zahlen definiert wird. :x = \sum_{j=0}^{\infty} x_j 2^{-j-1} and y = \sum_{j=0}^{\infty} y_j 2^{-j-1} with x_j, y_j \in \{0, 1\}, dann : x \ oplus y = \ sum_ {j = 0}^{\ infty} (x_j \ oplus y_j) 2^{-j-1} < /math>, wo : x_j \ oplus y_j = (x_j + y_j) \ pmod 2 . onneweer, C.W. (1979). "Über die Definition der dyadischen Differenzierung". '' Anwendbare Analyse '', 9 (4): 267-278. < /Ref>
Dyadische Dyadic-Derivate höherer Ordnung sind definiert Rekursion (Mathematik) | rekursiv: f^{[r]} (x) = (f^{[r-1]})^{[1]} (x) für r \ in \ mathbb n . === starkes dyadisches Derivat ===
Das starke dyadische Derivat ist im Kontext von Funktionsräumen definiert. Sei x (0, 1) eines der Funktionsräume l^p (0, 1) für 1 \ Le P \ le \ Infty (lp_space | '' l '' l^\ Infty (0, 1) (l-infinity | '' l '' '' ∞ '' Raum); oder c^\ oplus [0, 1] (der Raum der dyadisch kontinuierlichen Funktionen). If f \ in x (0, 1) und es gibt g \ in x (0, 1) , so dass dann wird g als erste starke dyadische Ableitung von f bezeichnet, die mit g = d^{[1]} f . Engels, W. (1985) gekennzeichnet ist. "Über die Charakterisierung des dyadischen Derivats". '' Acta mathematica hungarica '', 46 (1-2): 47-56. == Beispiele ==
3, & x \ in [0,1 /4) \\ -1, & x \ in [1 /4,1) 6, & x \ in [0,1 /4) \\ -4 & x \ in [1/4,1/2) \\ -2, & x \ in [1/2,3/4) \\ 0, & x \ in [3 /4,1) 1, & x \ in [0,1) \ cap \ mathbb {q} \\ 0, & x \ in [0,1) \ setminus \ mathbb {q}
== history == Das dyadische Derivat wurde von Mathematiker [url=viewtopic.php?t=14033]James[/url] Edmund Gibbs im Kontext von Walsh-Funktionen eingeführt und von Paul Butzer und Heinz-Joseph Wagner weiterentwickelt. "Walsh Funktionen und Differenzierung". '' Proceedings of the Symposium und Workshop zu Anwendungen von Walsh-Funktionen ''. Naval Research Laboratory, Washington, D. C., S. 1-29. "Walsh-Fourier-Serie und das Konzept eines Derivats". '' Anwendbare Analyse '', 3 (1): 29-46. < /Ref>
Weitere Beiträge kamen von C. W. Onneweer, der das Konzept auf fraktionale Differenzierung und p-adic | '' P ''-Adic Fields. "Bruchdifferenzierung auf der Gruppe der Ganzzahlen eines P-Adic- oder P-Series-Feldes". '' Analyse Mathematica ', 3 (2): 119-130. == Siehe auch == * Walsh Funktion * Dyadische Gruppe * Haar Wavelet * Harmonische Analyse * Walsh Transform
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= \sum_{j=0}^{\infty} x_j 2^{-j-1} and y = \sum_{j=0}^{\infty} y_j 2^{-j-1} with x_j, y_j \in \{0, 1\},